同型を除いたトポロジー

Question

しましょう $A$ セットになる、 $\mid A \mid$=$\aleph_0$ （Aが$ \subseteq$$\ mathbb {R} $）、

そして$ \ chi $ = $ \ {\ tau \ subseteq$$P(A)$$\ mid$$($A、$\tau$$）$はハウスドルフ空間、$ \ mid \ tau \ mid $ = $ \ aleph$$\}$。
（（$P(A)$ のべき集合です $A$）

の「価値」とは$\mid \chi \mid$ $?$

問題は基本的にハウスドルフトポロジーの数です $\tau$ （（$\mid \tau \mid=\aleph$）（同型を除いて）セットに存在します $A$、 $\mid A \mid=\aleph_0$。

私が間違っている場合は訂正してください。ただし、前に述べたように、少なくとも1つのトポロジがあることがわかっています

。例：

セットは$\mathbb{Q}$ とトポロジー $\tau$ は上のユークリッド距離の部分空間トポロジーです $\mathbb{R}$（そのハウスドルフ）。

明らかに$\mid \mathbb{Q} \mid$=$\aleph_0$、そして私たちはそのベースが $\tau$ に $\mathbb{R}$ はすべての開区間であるため、 $\mid \tau \mid$ オン $\mathbb{Q}$ です $\aleph$。

したがって、$\chi \neq \emptyset$。

とは$\mid \chi \mid$？

Answer 1

せいぜい $\kappa:=2^{2^{\aleph_0}}$ 上のトポロジー $A$。また、同等ではない無料の限外フィルターがたくさんあります$A$、およびそれらのそれぞれは、相互に非同相のハウスドルフトポロジーを生じさせます $A$（それを一意の非孤立点の近隣のセットとして使用することによって）。だからあります$\kappa$ 上の多くのハウスドルフトポロジー $A$（実数のすべてのサイズ）。したがって、答えはのべき集合のサイズです。$\Bbb R$。