どの完全束が既約格子の積と同型ですか？
完全なラテックスの家族を考えると $\{\mathcal{L}_i\}_{i\in I}$ すべてのst $i\in I$ 私たちは $\mathcal{L}_i=(X_i,\leq_i,\wedge^i,\lor^i)$ そして $X=\prod_{i\in I}X_i$ 完全束を定義できることに注意してください $\mathcal{L}=\prod_{i\in I}\mathcal{L}_i$ （それを彼らの製品と呼ぶ） $X$ st $\mathcal{L}=(X,\leq,\wedge,\lor)$、のために定義された $a,b\in X$ 次のように： $a\leq b\iff \forall i\in I(\pi_i(a)\leq_i\pi_i(b))$ また、 $S\subseteq X$ その後 $\small\bigwedge_{f\in S}f=\{(i,\bigwedge^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ そして $\small\bigvee_{f\in S}f=\{(i,\bigvee^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ さらに、1つの要素を持つ任意のラティスを自明と呼び、完全なラティスと言います $\mathfrak{L}$ 2つ以上の自明でない完全束のファミリーが存在しない場合は既約です $\{\mathfrak{L}_{i}\}_{i\in I}$ st $\mathfrak{L}\cong \prod_{i\in I}\mathfrak{L}_i$。さて、そうは言っても、私の質問は、完全束が既約格子の積と同型であるのはいつかということです。たとえば、これを決定するための「基本的な」または「有用な」基準はありますか？既約格子のどの積とも同型ではない完全束の例は何ですか？誰かが私にこれらのいくつかを与えることができますか？
明らかに、有限の完全束は還元不可能な格子の積と同型です。なぜなら、格子自体が還元不可能である場合、それ以外の場合は、これを親の副格子である2つの格子に因数分解して、それぞれが小さいセット上の格子として表現できるからです。親セット、したがってこのプロセスを何度も繰り返すと、最終的には、その積が親と等しい還元不可能な格子のファミリーが提供されます（これらの格子のそれぞれが小さいサイズのセット上にあるため、このプロセスは終了する必要があり、定義上、些細な格子は還元できませんしたがって、そのようなラティスを1つの要素のセットに縮小すると、完了です）。
さらに、完全な格子がある場合 $L_1\cong L_2\times L_3$既約格子のprdouctと同型ではありません$L_2$ または $L_3$あるではないので、我々はすべての格子見る前のプロセス適用することにより、既約格子の製品と同型ではない既約格子のprdouctと同型の既約格子の製品と同型ではないまた、副格子の無限の数が含まれている必要があります。..
回答
以下のために分配格子、これらの質問を理解するのはかなり簡単な方法があります。つまり、$L=A\times B$ 2つの格子の積であり、要素 $(1,0)$ そして $(0,1)$ は互いに補完し合っています（それらの結合は $1$ そして彼らの出会いは $0$）。逆に、$L$ 分配束であり、 $a,b\in L$ お互いの補完であり、 $L\cong A\times B$ どこ $A=\{x\in L:x\leq a\}$ そして $B=\{x\in L:x\leq b\}$。確かに、順序を維持するマップがあります$f:L\to A\times B$ マッピング $x$ に $(x\wedge a,x\wedge b)$ と地図 $A\times B\to L$ 送信 $(x,y)$ に $x\vee y$ は逆です $f$ 以来 $L$ 分配的です。
したがって、分配束は、重要な補完要素がない場合、既約です。分配束の補完された要素のセット$L$ 私が呼ぶブール代数を形成します $B(L)$。さらに、分配束の場合$L$ は製品です $\prod_{i\in I} L_i$、その後 $B(L)= \prod_{i\in I} B(L_i)$。
特に、 $L$ （自明ではない）既約格子の積です $\prod_{i\in I} L_i$、その後 $B(L)=\prod_{i\in I}B(L_i)\cong \mathcal{P}(I)$、それぞれ以来 $B(L_i)$ ただの2要素格子です $\{0,1\}$。また、$L_i\cong\{x\in L:x\leq e_i\}$ どこ $e_i\in L$ です $1$ に $i$th座標と $0$ 他の要素、およびこれらの要素 $e_i$ ブール代数の単なる原子です $B(L)$。この識別で、投影$L\to L_i$ ただの地図です $x\mapsto x\wedge e_i$。
したがって、分配束は $L$ マップの場合、既約格子の積と同型です。 $f:L\to\prod_{i\in I}L_i$ は同型であり、ここで $I$ の原子のセットです $B(L)$、 $L_i=\{x\in L:x\leq i\}$、 そしてその $i$のth座標 $f$ 地図です $x\mapsto x\wedge i$。場合$L$ 完了しました、これら $L_i$自動的にも完了します。特に、の必要条件$L$ 既約格子の積と同型であるということは $B(L)$ べき集合ブール代数と同型である。
だから、例えば、 $L$ はべき集合と同型ではない完全なブール代数であり、 $L$既約格子の積ではありません。明示的な例として、$L$ の通常の開集合の格子である可能性があります $\mathbb{R}$、またはのボレルサブセットの格子 $\mathbb{R}$ ルベーグ測度のモジュロセット $0$。別の種類の例として、$L$カントール集合の開集合の格子である可能性があります。次に$B(L)$ はカントール集合の開かつ閉集合のブール代数であり、原子がありません（実際には完全ではありません）。
例として $B(L)$ パワーセットですが $L$ まだ既約格子の産物ではありません、あなたは取ることができます $L$ の開集合の格子になる $\beta\mathbb{N}$。次に$B(L)\cong\mathcal{P}(\mathbb{N})$、しかしその原子はシングルトンです $\{n\}$ にとって $n\in\mathbb{N}$ だから地図 $L\to\prod_{i\in I}L_i$ 上記のように地図です $L\to\mathcal{P}(\mathbb{N})$ のオープンサブセットを送信する $\beta\mathbb{N}$ との交差点に $\mathbb{N}$、単射ではありません。