エッセンシャルスペクトルを使用しないワイルの基準の証明
次の定理を考えてみましょう。
定理：レッツ$A$ ヒルベルト空間上の有界自己随伴作用素であること $\mathcal{H}$。次に$\lambda \in \sigma(A)$ シーケンスが存在する場合のみ $\{\psi_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ そのような $||\psi_{n}|| = 1$ すべてのために $n$ そして $\lim_{n\to \infty}||(A-\lambda)\psi_{n}|| \to 0$。
これは、いわゆるワイルの基準の「一部」です。通常、この結果は、本質的なスペクトルが中心的な役割を果たすフレドホルム作用素のスペクトル理論を研究するときに発生します。一般に、上記の定理は、の本質的なスペクトルに関するいくつかのステートメントと一緒になります$A$ また、上記の結果は、本質的なスペクトルの特性を使用して証明されます。
しかし、私はフレドホルム作用素には興味がなく、むしろ有界の自己随伴作用素だけに興味があります。
質問：有界エルミート作用素の通常のスペクトル理論だけを使用し、本質的なスペクトル引数を使用せずに、上記の定理の証明を行うにはどうすればよいですか（または証明をどこで見つけることができますか）。
回答
対偶を証明するのが最も簡単だと思います、 $\lambda \in \rho(A)$ そのようなシーケンスがない場合に限り $(\psi_n)$ 存在します。
まず、そのようなシーケンスがないことを確認します $(\psi_n)$ が存在する場合にのみ存在します $\delta > 0$ そのような $$\lVert (A - \lambda)x\rVert \geqslant \delta \lVert x\rVert$$ すべてのために $x \in \mathcal{H}$。
次に、この形式の条件はすぐに次のことを意味します $A - \lambda$ は単射であり、それはすぐに $A - \lambda$閉じています。逆に、開写像定理は、$A - \lambda$ 閉範囲で単射であり、そのような $\delta$ 存在します。
自己随伴作用素については、まだ分からない。 $A$、もし $A - \lambda$は閉範囲で単射であり、それから全射です。それは$A - \lambda$ は正常です（したがって、この基準は通常の演算子に対してより一般的に当てはまります。 $A - \lambda$ 正常な場合 $A$正常です）。したがって、$x \in \bigl(\operatorname{im} (A - \lambda)\bigr)^{\perp}$。その後、$$\lVert (A - \lambda)x\rVert^2 = \langle (A - \lambda)x, (A - \lambda)x\rangle = \langle (A - \lambda)^{\ast}(A - \lambda) x, x\rangle = \langle (A - \lambda)(A - \lambda)^{\ast} x, x\rangle = 0$$随伴作用素と正規性の定義による。仮定により$A - \lambda$ 単射であるため、 $x = 0$、したがって $\operatorname{im} (A - \lambda)$ 密度が高く、仮定により閉じているため、 $A - \lambda$ 全射です。