FOLで「すべての学生が少なくとも1つのクラスに合格した」と表現する

Question

私の質問：

このフレーズを一次言語で表現します：「すべての学生は少なくとも1つのクラスに合格しました」。

これは私の先生の答えです：

定義する $S(x)$ 「オブジェクトとして $x$ 学生です」、 $C(x)$ 「オブジェクトとして $x$ クラスです」と $P(x,y)$ 述語論理として-「学生」に変換される記号 $x$ クラスに合格しました $y$"。だから私たちは持っています：

$\forall x (S(x) \rightarrow \exists y [C(y) \land P(x,y)])$。

私の質問はどうですか： "$\forall x S(x) \exists y ( C(y) \land P(x,y))$"。なぜ2番目のものが間違っているのですか？

Answer 1

おそらくあなたはどこかで何かを読んだことがあります

$\forall x \in \mathbb{N} P(x)$

問題の文に同じパターンを適用してみてください $x \in \mathbb{N}$ 対応する $S(x)$ そして $P(x)$ に $\exists y ...$。

しかし、上記は厳密に一次式を話すのではなく、単なる省略形です

$\forall x (x \in \mathbb{N} \to P(x))$

通常、設定されたメンバーシップステートメントでのみ使用されます $x \in Y$、のような述語ではありません $S(x)$。

2つの式を主張している場合 $S(x)$、 $\exists y ...$ 次に、述語論理の構文によって、それらの間に接続詞が必要です。これにより、全体が別の式になり、それが提案に含まれなくなります。

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その上、コメントで述べたように、

$\forall x S(x) \to \exists y (C(y) \land P(x,y))$

正しい解決策ではありません。あなたの先生はおそらく書いた

$\forall x (S(x) \to \exists y (C(y) \land P(x,y)))$

- $\forall x$ だけでなく、含意に及ぶ必要があります $S(x)$。