複素対数で制限する

Question

自然対数の主分岐を含むこれらの制限は存在しますか？ $$\lim_{z\rightarrow 0} \ln(-i|z|-1)$$ $$\lim_{z\rightarrow 0}\ln(z^2-1)$$

最初の制限はただだと思います $i\pi$。しかし、私はそれを正当化する方法がわかりません。

2番目の制限については、ポイント $z\rightarrow 0$ブランチカットにあります。だから限界はないと思います$\ln$定義されてない。これは正しいです？

どんな助けでも大歓迎です。

Answer 1

にとって $z \in \mathbb C\setminus \{0\}$、 あなたが持っている $\Im(-i \vert z \vert -1) = -\vert z \vert <0$。

したがって、 $$\lim\limits_{z \to 0} \ln(-i\vert z \vert -1)=-i\pi.$$

注：ただし、マップ $f : z \mapsto \ln(-i\vert z \vert -1)$ としてゼロで連続ではありません $f(0) =i\pi$。

そして、あなたは2番目の制限に関して正しいです：それは存在しません。

Answer 2

最初のものから始めましょう！ $$\lim_{z\rightarrow 0} \ln(-i|z|-1)$$ 私達はことを知っています $$e^{i{\theta}}=cos(\theta)+isin(\theta)$$ $$ln(e^{i{\theta}})=ln(cos(\theta)+isin(\theta)) $$ $$i\theta=ln(cos(\theta)+isin(\theta))$$ $$\boxed{\theta=-iln(cos(\theta)+isin(\theta))} \quad (1)$$ したがって、次の場合： $$ln(-1)$$ だということだ $$cos(\theta)=-1 \space and \space sin(\theta)=0$$ $$\theta=arccos(-1)$$ したがって、 $$\theta={\pi}$$ 今、私たちはで置き換えることができます $$ \quad (1)$$ $$\boxed{\pi=-iln(cos(\pi)+isin(\pi))}$$ $$\boxed{i{\pi=ln(-1)}}$$同じ方法を使用して、2番目の演習を正当化できます。（英語とタイピングのスキルでごめんなさい）