フォームの有限積分の一般解 $\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx$?

Aug 20 2020

最近、私はより高次元の球を扱っていましたが、この積分の値を見つけました。 $$\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx.$$

ある意味で私は後ろ向きに働いていましたが。私はすでに確立した関係からこれを統合しました。この積分が与えられたばかりの場合と同じように、任意の積分方法を使用してこの積分の値を見つけることができるかどうか疑問に思いました。オンラインでいくつかの積分計算機を試しましたが、結果は得られませんでした。自分でやってみても何も見つかりませんでしたが、統合は私の領域ではありません。

回答

Kunalkumar Aug 20 2020 at 11:53

この積分の値を見つけることが可能かどうか疑問に思いました

あなたが答えを探しているなら、私はそれを持っています(Mathematicaから)

条件付き表現関連する追加の条件があり、それが言及されていることを意味します。

gemspark Aug 20 2020 at 11:56

最も簡単なアプローチは、パーツによる積分を使用することです。これは、同様の積分のウォリス積を導出するためにも使用されます。

しましょう $I(b) = \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b dx$$v'=1$ そして $u=(a-x^2)^b$、その後 $\frac{du}{dx}=-2bx(a-x^2)^{b-1}$$I(0)=\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} dx=2\sqrt{a}$

$$I(b) = [x(a-x^2)^b]_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} - \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} x(-2bx)(a-x^2)^{b-1} dx$$ $$I(b) = - 2b\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^b + 2ab\int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a-x^2)^{b-1} dx$$ $$I(b) = - 2bI(b) + 2abI(b-1)$$ $$I(b) = \frac{2ab}{2b+1}I(b-1)$$ $$I(b) = \frac{2ab}{2b+1}.\frac{2a(b-1)}{2b-1}...\frac{2a(2)}{2(2)+1}\frac{2a(1)}{2(1)+1} I(0)$$

heropup Aug 20 2020 at 12:24

置換 $$x = \sqrt{a}(2u-1), \quad dx = 2 \sqrt{a} \, du,$$ 積分になります $$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \int_{u=0}^1 u^b (1-u)^b \, du.$$これはベータ積分に比例し、その値は$$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \frac{\Gamma(b+1)^2}{\Gamma(2b+2)}.$$ いつ $b \in \mathbb Z^+$、これは階乗で次のように表現できます $$(2 \sqrt{a})^{2b+1} \frac{(b!)^2}{(2b+1)!} = \frac{(2 \sqrt{a})^{2b+1}}{(b+1) \binom{2b+1}{b}}.$$

ClaudeLeibovici Aug 20 2020 at 12:52

超幾何関数を楽しむ場合は、 $a>0$ そして $b>0$ $$\int (a-x^2)^b\, dx=a^b\,x\,\, _2F_1\left(\frac{1}{2},-b;\frac{3}{2};\frac{x^2}{a}\right)$$ $$\int_{-t}^t (a-x^2)^b\, dx=2 a^b\,t \, _2F_1\left(\frac{1}{2},-b;\frac{3}{2};\frac{t^2}{a}\right)$$ 場合 $t=\sqrt a$、これはすでに回答で与えられた結果につながります。