厳密な凸性と漸近的な親和性は、有界平均を意味しますか？

Question

これが正確に研究レベルであるかどうかはわかりませんが、次の主張の証拠を見つけるのに苦労しています。

しましょう $F:[0,\infty) \to [0,\infty)$ である $C^2$ 厳密に凸関数。

しましょう $\lambda_n \in [0,1],a_n\le c_0<b_n \in [0,\infty)$ 満足させる $$ \lambda_n a_n +(1-\lambda_n)b_n=c_n $$ そしてそれを仮定します $c_n \to c>c_0$。

セットする $D_n=\lambda_nF(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)-F\big(c_n\big) $、そしてそれを仮定します $\lim_{n \to \infty}D_n=0$

質問：しなければならない$b_n$ 有界ですか？

---

私は非常に簡単な証明（以下に提示します）を持っています。 $a_n=a,c_n=c$ は定数シーケンスですが、一般化するのに問題があります。

単純化されたケースの証明：

我々は持っています $ \lambda_n a +(1-\lambda_n)b_n=c$。

与えられた $x \ge r$、 $\lambda(x) \in [0,1]$ 満足する一意の番号である $$ \lambda(x) a +(1-\lambda(x))x=c. $$ 我々は持っています $\lambda(b_n)=\lambda_n$。定義する$$g(x) = \lambda(x) F(a) + (1-\lambda(x))F(x).$$

の厳密な凸面 $F$ ことを意味します $g$ の厳密に増加する関数です $x$。

仮定 $D_n \to 0$ と同等です $g(b_n) \to F(c)$。以来$g(b_n) \ge F(c)$ （凸面による）および $g$ 厳密に増加していると結論付けます $b_n$ 制限する必要があります。

Answer 1

はい、 $b_n$制限する必要があります。反対を仮定します。サブシーケンスに渡すと、次のように推測できます。$a_n\to a$、 $b_n\to \infty$。我々は持っています$$\lambda_n=\frac{b_n-c_n}{b_n-a_n}\to 1;\, 1-\lambda_n=\frac{c_n-a_n}{b_n-a_n}\sim (c-a)b_n^{-1},$$ と使用 $F(b_n)\geqslant F(c_n)+(b_n-c_n)F'(c_n)$ 我々が得る $$ D_n+F(c_n)=\lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)\geqslant \lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F(c_n)+(1-\lambda_n)(b_n-c_n)F'(c_n)\\ \to F(a)+(c-a)F'(c)>F(c), $$ したがって、 $\liminf D_n>0$。