GITと特異点
しましょう $G$ 複雑なアフィン多様体に作用する複雑な簡約群であること $X$ そしてしましょう $X // G = \operatorname{Spec}\mathbb{C}[X]^G$ GIT商になります。
の特異軌跡間に関係はありますか $X$ との $X // G$？
もちろん、 $X//G$ 非常に特異である可能性があります $X$スムーズです。しかし、例えば、私は（またはどのような条件下で）特異点が$X$ の特異点にマッピングされます $X // G$。
編集します。以下のスペンサーの素晴らしいコメントは、後者への答えがノーであることを示しています。しかし、おそらくより適切でより正確な質問は次のとおりです。$X // G$ で非特異的です $y$、非特異なものはありますか $x \in X$ へのマッピング $y$？言い換えれば、のすべての繊維を行います$X \to X // G$ 非特異点には、の非特異点が含まれます。 $X$？私は還元不可能性や他の素晴らしい特性を引き受けたいと思っています。
回答
これは、改訂された質問に対する回答です。これは、簡約群が滑らかで接続されている場所、どこで接続されているかを考えることができる最も単純な反例です。$X$ 正常でアフィンであり、どこで $Y=X//G$ の特異軌跡に含まれる商マップのファイバーがあるにもかかわらず、は滑らかです $X$。
しましょう $Y$ あります $\text{Spec}\ k[x,y,z]$、すなわち、アフィン $3$-スペース。しましょう$G$ 乗法群であり、 $G=\text{Spec}\ k[u,u^{-1}]$。しましょう$X$ あります $\text{Spec}\ k[x,y,z,s,t,t^{-1}]/\langle f \rangle$ どこ $f$ は多項式であり、 $$f=s^2+t(xz-y^2).$$ のアクションをしましょう $G$ オン $X$ によって定義されます $$\mu:G\times_{\text{Spec}\ k} X \to X, \ \ \mu(u,(x,y,z,s,t)) = (x,y,z,us,u^2t). $$ のリング $G$-不変多項式は部分環であり、 $$k[X]^G = k[x,y,z].$$ 商マップは通常の投影ですが、 $$q:X\to Y, \ \ q(x,y,z,s,t) = (x,y,z).$$ 密集したザリスキーオープンの場合 $U = D(xz-y^2)\subset Y$、逆像 $q^{-1}(U)$ は $G$-torsor over $U$。
の特異な軌跡 $X$ シングルです $q$-ファイバ、 $q^{-1}(0,0,0)$。原点はなめらかな点なのに$Y$、これのすべてのポイント $q$-繊維はの特異点です $X$。