合同を解く-解のステップを理解できない[重複]
合同と数論の新機能
以下は、ジョセフH.シルバーマン：数理論の友好的な紹介、第4版、第8章、56ページのテキストです。
解決するには
$4x\equiv 3 \pmod{19}$
両側にを掛けます $5$。これは与える
$20x\equiv 15 \pmod{19}$ - ステップ1
だが $20\equiv 1\pmod{19}$、 そう $20x\equiv x\pmod{19}$ - ステップ2
したがって、解決策は
$x\equiv 15\pmod{19}$
ステップ2までは理解していますが、ステップ2の解決策に到達する方法を理解できません。
どうやって
$20x\equiv x \pmod{19}$
引き起こす
$x\equiv 15 \pmod{19}$
どこでした $20$LHSで行く？どうやって$x$ RHSでは次のように置き換えられます $15$？
回答
ここでの問題は、合同の基本的な性質に関係していると思います。
多くの重要な点で、合同は平等とまったく同じように動作します。つまり、次の3つの重要な特性を満たします。
$1)$ 反射的： $a\equiv a \pmod n$。
$2)$ 対称： $a\equiv b \pmod n\iff b\equiv a \pmod n$
$3)$ 推移的： $a\equiv b\pmod n$ そして $b\equiv c\pmod n$ 意味する $a\equiv c \pmod n$。
これらのそれぞれは、合同のコア定義から簡単にたどります。
これらの3つのプロパティは、一緒に合同を作ります https://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_relation。これはそれ自体が重要な概念です。多くの点で、Equalityを操作するのと同じ方法でEquivalentRelationsを操作できます。それが与えられた計算で起こっていることです。
この場合、あなたは $$20x\equiv x\pmod {19}\quad \&\quad 20x\equiv 15\pmod {19}$$ したがって、対称プロパティと推移プロパティを組み合わせると、 $x\equiv {15}\pmod {19}$。
ただし、いつものように、重要なのは一般原則です。これらの3つの特性が、合同が非常に有用で重要である理由です...それらが保持される理由を理解してください。
私はそれを強調します $\gcd(5,19)=1$。以来$5$ はモジュラスと互いに素であり、 $5$解を変更しないので、これら2つの合同は同等です1
$$4x\equiv3\pmod{19} \Longleftrightarrow 20x\equiv15\pmod{19}$$
今から $x\equiv20x\pmod{19}$、後者はと同等です $x\equiv15\pmod{19}$。
ここでのコメント（および他の回答への）は、これが主な問題であることを明らかにしたので、最後の同等性を詳細に説明させてください。（対称性と推移性の両方を自由に使用します。）
- $x\equiv20x\pmod{19}$ そして $20x\equiv15\pmod{19}$ 意味する $x\equiv15\pmod{19}$
- $20x\equiv x\pmod{19}$ $x\equiv15\pmod{19}$ 意味する $20x\equiv15\pmod{19}$
- だから私たちは両方を持っています $$20x\equiv15\pmod{19} \Longrightarrow x\equiv15\pmod{19}$$ そして $$x\equiv15\pmod{19} \Longrightarrow 20x\equiv15\pmod{19}$$ これは私たちに同等性を与えます $x\equiv15\pmod{19} \Longleftrightarrow 20x\equiv15\pmod{19}$。
1たとえば、次を参照してください。
ちなみに、次のようなチャットルームがあります。 https://chat.stackexchange.com/transcript/12070 そして https://chat.stackexchange.com/transcript/77161。そして、https://chat.stackexchange.com/transcript/36。参照：https://math.meta.stackexchange.com/q/26814#26817。（これは主に、コメントで何度かやり取りがあったことを知ったためです。コメントが多すぎる場合は、チャットでのディスカッションの方が適している可能性があります。）
上手、 $20\equiv 1 \mod 19$ など $20\cdot x\equiv 1\cdot x\mod 19$。
残りはあなたがそれを説明した方法です：乗算 $4x\equiv 3\mod 19$ 沿って $5$ 両側に与える $20x\equiv 15\mod 19$、すなわち、 $x\equiv 15\mod 19$。
ここから
$$20x\equiv 15 \mod19$$
私たちはそれを持っています
$$20x=19x+x \implies 20x\equiv x \mod19$$
したがって、
$$20x\equiv x\equiv 15 \mod19$$
確かに定義上
$$a\equiv b \mod n \iff a-b=kn$$
したがって、 $20x\equiv x \mod 19 $ 以来 $20x-x=19x$。
ステップ1で得られた関係の側面をステップ2で得られた関係の側面に分割することができます。
$\frac{20x}{20x} ≡ \frac {15} x \mod (19)$
⇒ $1 ≡ \frac {15} x \mod (19)$
⇒ $x ≡ 15 \mod (19)$