合計時間が等しいのはなぜですか $ N \cdot {T}_{s} $ とではない $ \left( N - 1 \right) \cdot {T}_{s} $ DFTのコンテキストでは？
DFTの定義では
DFT $$ X(j)=\sum_{k=0}^{N-1} x(k) \exp \left(-i 2 \pi\left(\frac{j}{N}\right) k\right) $$
私たちが持っているなら、私たちに言わせてください $10$ ポイント、 $N=10$、それぞれでサンプリング $0.2$ 秒、周波数分解能の計算に使用される合計時間が等しいのはなぜですか $$ \frac{1}{N\Delta t } $$
どこ $k$ から実行されます $0, 1, 2, \ldots , 9$。
最初のポイントがゼロの場合、サンプリングされた時間は次のようになります。 $0.2$、および最後にサンプリングされたポイントは $$0.2\cdot (N-1)= 0.2\cdot 9 = \mathbf{1.8 \ \rm s}$$
むしろ合計時間はに等しい $0.2\cdot N= 0.2\cdot 10=\mathbf{2.0 \ \rm s}$ 周波数ステップで。
PS：クエリとディスカッションを見ました。期間を測定するにはどうすればよいですか？
ここに $\Delta t = 0.1 \ \mathrm{s}, N= 11 (\text{Eleven data points}), k= N-1$; そう
$$\text{total signal duration} = k\cdot \Delta t = (11-1)\cdot \Delta t= 1 \ \text{second}$$
これは $10 \rm \ Hz$サンプリングレート、すなわち、$10$ ポイントはで集められました $1 \ \text{second}$ そしてその $11^{th}$ ポイントは次のサイクルに属していました。
回答
あなたは正しいです、服用に関連する期間$N$信号の均一なサンプルは
$$ D = (N-1) \cdot T_s$$
どこ $T_s$はサンプリング期間です。
具体的な例で十分です。サンプリング期間を想定$T_s$ は1時間の長さで、氷山の先端の高さが溶けているときなど、ゆっくりと変化するプロセスの3つのサンプルを取得します。
あなたの最初のサンプルはで取られます $t=0$（電子サンプリングプロセス自体は約マイクロ秒以下かかるため、1時間のサンプリング期間と比較して無視してください！）。次に、2番目のサンプルが到着します$1$ 1時間後、3番目（および最後）のサンプルが到着します $2$ 時間後。
したがって、あなたの $3$ 長い観察にかかるサンプル $D = (3-1) \cdot 1 = 2$時間の長さ。最後の（3番目の）サンプルを取得するとすぐに、サンプリングシステムをシャットダウンします。最後のサンプルを取得した後、もう1時間（もう1つのサンプリング間隔）待つ必要はありません。
そして、この計算方法は、結晶格子構造内の距離の計算とまったく同じです。N個の原子間の距離はどれくらいですか？N原子の全長はどれくらいですか（通常はx次元に配置されます）？
それにもかかわらず、文献では、以下を含む表現を見つけることができます $D = N \cdot T_s$。一部のアプリケーションではそれが必要になる場合があります。すなわち、ブロックベースの信号処理、DFT、サンプルレート変換は、そのような視点を利用します。これは、データブロックを次々に処理する際に正当化されます。
理由を理解するには $D = N \cdot T_s$DFT分析で使用できる場合は、次の例を検討してください。次のような長いデータセットがあると仮定します。$4 \cdot N$ サンプル、4つのブロックに分割 $N$サンプル; つまり、4つのブロックがあります$N$それぞれのサンプル。ブロックは隣接しており、サンプルの順序は（1、N）、（N + 1,2N）、（2N + 1,3N）、（3N + 1,4N）です。標本、見本$N+1$2番目のブロックに属しますが、最初のブロックの期間は、サンプル1からサンプルN +1まで測定されます。なぜなら、サンプルNとN + 1の間の期間は最初のブロックに属し、これがそのブロックの期間が次のように解釈される理由を説明しているからです。$D = N \cdot T_s$。ただし、サンプルの最後のブロック（3N + 1,4N）の場合、期間は次のようになります。$(N-1)\cdot Ts$、隣接するブロックがないため。
大事なことを言い忘れましたが、これは議論のトピックです。:-)
その理由は、DFTとサンプリング定理の文脈では非常に単純です。
その文脈では、サンプリング期間は、適切なサンプリングを前提として、十分な知識があり、再構築できる期間とほぼ同じです。
離散信号の場合、DFTのコンテキストでは、モデルは信号が周期的であるというものです。したがって、最後のサンプルは時間間隔に関する知識を提供します$ \left[ \left( N - 1 \right) \cdot {T}_{s}, N \cdot {T}_{s} \right] $ 次のサンプル以降、 $ N \cdot {T}_{s} $知られている。時間0でサンプリングされます。