グリフィスとハリスにおけるベルティーニの定理の声明と証明を理解する
Griffiths&Harrisの本(p。)にあるBertiniの定理のステートメントと証明を理解するのに苦労しています。$137$)。率直に言って、スタックでいくつかの答えを読んだ後でも、私は単語を理解していません。定理は
線形システムの一般的な要素は、システムの基本軌跡から離れると滑らかになります。
最初の質問。上記のステートメントは、除数に関連付けられた直線束だけでなく、一般的な直線束の線形を参照していますか?
私が言える限り、それは除数に関連付けられた直線束の線形システムを指します。私が間違っているかどうか教えてください。
2番目の質問。一般的な要素は何ですか?または、一般的な鉛筆とは何ですか?
証明では、著者は「線形システムの一般的な要素がシステムの基本軌跡から離れて特異である場合、システムに含まれる一般的な鉛筆にも同じことが当てはまります。したがって、Bertiniを証明するだけで十分です。鉛筆。」
3番目の質問。上記の文は正確にはどういう意味ですか?
今、仮定します $\left \{D_{\lambda} \right \}_{\lambda \in \mathbb{P}^1}$ 鉛筆です
4番目の質問。なぜ著者は書くのですか$D_{\lambda} = (f+\lambda g = 0)$?何をしますか$f,g$ ここの意味ですか?
最後の質問は、多様性の程度に関するものです(p。$171$)。
ベルティーニはの滑らかな軌跡に適用されます $V$ ジェネリック $(n-k)$-飛行機 $\mathbb{P}^{n-k} \subset \mathbb{P}^n$ 交差します $V$ 横方向に出会う $V$ 正確に $\mathrm{deg}(V) = ^{\#}(\mathbb{P}^{n-k}.V)$ ポイント。
最後の質問。ジェネリックとは$(n-k)$-飛行機?この場合、なぜ交差するのですか$V$ 横方向?
回答
あなたの設定(複素多様体)では、すべての直線束は除数から来ており、その逆も同様です。
線形システムの一般的な要素は、 $\mathbb P^r$ その線形システムのメンバーをパラメータ化して、いくつかの密な開集合を検討します。 $\mathbb P^r$。一般的な要素は、その密集した開口部の点によってパラメータ化された要素です。グラスマン多様体の密集した開口部の点によって同様にパラメータ化された一般的な鉛筆$G(2,r+1)$ の $2$-の次元部分空間 $H^0(L)$ (どこ $L$ 直線束です)。
この文は、鉛筆で「悪い」動作が発生することを示しているため、高次元の線形システムについて心配する必要はありません。
彼らは意味します $f,g \in H^0(L)$、したがって、の線形結合を取る $f$ そして $g$ 鉛筆を生成します。
一般的な平面は、適切なグラスマン多様体の密な開集合によってパラメーター化されます。横断性は、横断性がオープンな状態であるためです。