行列多項式のカーネルのグローバル多項式基底

Question

しましょう $M(x)$ 豆 $m$ 沿って $n$ エントリのある行列 $\mathbb{C}[x]$。すべてのためにそれを仮定します$x\in \mathbb{C}$ のランク $M(x)$ は一定で、 $r<n$。したがって、$x_0\in \mathbb{C}$ フルランクを見つけることができます $N\in \mathbb{C}^{n,n-r}$ そのような $$ M(x_0)N=0. $$ 質問：見つけることは可能ですか？ $n$ 沿って $n-r$ マトリックス $N(x)$ のエントリで $\mathbb{C}[x]$ そのような $$ M(x)N(x)=0 $$ そして $N(x)$ すべての人にとってフルランクです $x\in \mathbb{C}$？はいの場合、建設的なアルゴリズムはありますか？いいえの場合、障害は何ですか？その質問は、その制限の下でも私にとって興味深いものです$M(x)$ で線形です $x$。

これは私がそのようなものを見つけるのに失敗しているマトリックスの例です $N(x)$ （（$m=4, n=6, r=4$）。 $$ \left( \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 2 (x+2) & 4 (x-3) & 2 (8-x) & 0 & 0 & 0 \\ -8 & 0 & -4 & 4 (x-3) & 2 (6-x) & 0 \\ \end{array} \right) $$

Answer 1

はい、建設的なアルゴリズムがあります。プット$M$ スミス標準形に： $ PMQ = D$ 可逆の場合 $P$ そして $Q$ と対角線 $D$。以来$M(x_0)$ すべての人にとってフルランクです $x_0$、同じことが当てはまります $D$、 したがって $D$ の形式です $$ D = \begin{bmatrix} c_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots &0\\ 0 & c_2 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & &\vdots\\ 0 & 0 & \cdots & c_r& 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & &\vdots & \vdots & & \vdots\end{bmatrix}$$ どこ $c_1, \ldots, c_r$ にあります $\mathbb C$。したがって、のカーネル$D$ 最後のスパンです $n-r$ 標準基底ベクトル、したがってのカーネル $M$ 最後のスパンです $n-r$ の列 $Q$。これらの列は、任意の意味でフルランク行列を形成します。$Q$ は反転可能です $\mathbb C[x]$。