半順序集合の結合性の反例

Question

私はポセットの結合性について確信が持てず、math.stackexchangeで見つけた証明は妥当なように見えましたが、それでも頭を包むことができませんでした。

（x∨y）∨z≠x∨（y∨z）のような反例を作ってみました

（b∨c）∨d= hおよびb∨（c∨d）= i; この図では

しかし、結合法則は、両方が等しくなければならない、つまり「h = i」であると言っています。

私はどこが間違っているのか理解できません。この図は、反射的、反対称的、推移的であるため、半順序集合であると感じますが、間違っている必要があることはわかっています。

しかし、なぜこの図が半順序集合ではないのか、どこが間違っているのか理解できないようです。助けてください

Answer 1

半順序集合には、明確に定義された最小上限関数がありません。あれは、$\vee$セット内の操作を定義しません。それがあなたが平等を得ていない理由です。

あなたのイメージを開きたくない人のために、あなたはのべき集合のサブポーズを取っています $\{1,2,3,4,5,6\}$、次のセットで構成されています。

• $\{1\}$
• $\{1,2\}$、 $\{1,3\}$、 $\{1,4\}$
• $\{1,2,3\}$、 $\{1,3,4,5\}$、 $\{1,2,3,4\}$
• $\{1,3,4,5,6\}$
• $\{1,2,3,4,5,6\}$。

あなたはそれから取っています $b=\{1,2\}$、 $c=\{1,3\}$、 $d=\{1,4\}$。

次に、の最小上限 $b$ そして $c$、 $b\vee c$、です $\{1,2,3\}$; の最小上限$\{1,2,3\}$ そして $d=\{1,4\}$、 $(b\vee c)\vee d$ です $h=\{1,2,3,4\}$。

次に、の最小の上限は $c=\{1,3\}$ そして $d=\{1,4\}$ です $j=\{1,3,4,5\}$、そして取る $\{1,2\}\vee\{1,3,4,5\}$ あなたが得る $i=\{1,2,3,4,5,6\}$。

しかし、その主張 $\{1,3\}\vee\{1,4\} = \{1,3,4,5\}$保証されていません。それは同様に可能性があります$h=\{1,2,3,4\}$： どちらも $\{1,3,4,5\}$ そして $\{1,2,3,4\}$ 含む $\{1,3\}$ そして $\{1,4\}$; そして、両方を含む厳密に小さい要素はありません。2つの比類のない最小上限があります。$\{1,3\}$ そして $\{1,4\}$、だからあなたも計算することはできません $\{1,3\}\vee\{1,4\}=b\vee c$。

一般に、任意の半順序集合の最小上限を定義することはできません。の概念の前に、より多くのプロパティが必要です$\vee$理にかなっています。具体的には、上部半束が必要です。あなたが持っているのはポセットですが、上部半束ではありません。