反射原理と宇宙
圏論的議論では、すべてのアーベル群のカテゴリー、またはすべてのカテゴリーなどのカテゴリーを見たいという誘惑がしばしばあり、それは通常の集合論的問題にすぐにつながります。これらは、グロタンディーク宇宙を使用することで回避されることがよくあります。集合論的言語では、非常にアクセスしにくい基数を修正します$\kappa$ - この意味は $\kappa$ すべての人にとってそのような数え切れないほどの枢機卿です $\lambda<\kappa$、また $2^\lambda<\kappa$、および任意のセットの $<\kappa$ 多くのセット $S_i$ サイズの $<\kappa$、また、それらの和集合はサイズが大きい $<\kappa$。これは、ステージが$V_\kappa\subset V$ 「サイズのセット $<\kappa$「それ自体がZFCのモデルです。べき集合や和集合を取るなど、集合に操作を適用することで、離れることはできません。 $V_\kappa$。これらのセットは「小さい」と呼ばれ、小さいアーベル群のカテゴリは明確に定義されています。
歴史的に、このアプローチはグロタンディークによって最初に使用されました。より最近の基本的なテキストは、ルリーの研究です。$\infty$-カテゴリ。しかし、それらの使用は常にいくらかの反発を生み出し、ZFCを超えた公理を確立された文献に滑り込ませたくない人もいます。たとえば、ある時点で、フェルマーの最終定理がZFCで証明され、現在はマクラティによって解決されているかどうかについて長い議論があったと思います。最近、私は、その証明がルリーの仕事に言及している定理について同様の議論が出てくるのを見ました。（個人的には、私はこれについて強い感情を持っておらず、どちらの方法でも議論を理解しています。）
一方で、綿密な調査の結果、宇宙の使用は実際には不要であることが明らかになったのも常に事実です。たとえば、StacksProjectはユニバースを使用しません。代わりに（タグ000Hの発言を参照）、次の仮説を効果的に弱めます。$\kappa$ 数え切れないほどの共終数の強極限基数のようなものに、強くアクセスできません。 $\lambda<\kappa$、1つは $2^\lambda<\kappa$、そして可算集合のコレクションがあるときはいつでも$S_i$ サイズの $<\kappa$、またの和集合 $S_i$ サイズがあります $<\kappa$。ZFCはそのような存在を簡単に証明します$\kappa$、そしてアーベル群の圏で行うことを想像するかもしれないほとんどすべての議論は、実際には次の圏でも機能します $\kappa$-そのようなための小さなアーベル群 $\kappa$。より複雑な議論をする場合、それに応じて最初の仮説を強化することができます$\kappa$。私はこのゲームを自分でプレイする機会がありました。結果については、www.math.uni-bonn.de / people / scholze /EtCohDiamonds.pdfのセクション4を参照してください。この経験から、ルリーの「高次トポス理論」または他の同様の圏論的研究を同様に書き直して、アクセス不能基数をすべて削除し、慎重に選択したものに置き換えることができると確信しています。$\kappa$ 上記のようなプロパティを使用します。
実際、ZFCの定理、つまり反射原理（たとえば、StacksプロジェクトのTag 000Fで簡単に説明されています）があり、これが常に可能であることを保証しているようです。つまり、集合論の任意の有限集合の公式には、十分に大きいものがいくつかあります。$\kappa$ 大まかに言えば、これらの式は $V_\kappa$ 彼らが保持している場合にのみ $V$。これは、与えられた有限の式のセットに対して、いくつかを見つけることができると言っているようです$\kappa$ そのような $V_\kappa$これらの公式に関しては宇宙のように振る舞いますが、反射の原理についての私の非常に素朴な理解で私を訂正してください！（関連する事実は、ZFCがZFCの公理の任意の有限フラグメントの一貫性を証明することです。）
一方、与えられた数学的テキストには、有限の数の数式しか含まれていません（「定理スキーマ」が記載されていない限り、通常は発生しないと思います）。したがって、質問は少し挑発的に表現されます。
反射原理は、宇宙の使用を回避する方法で高次トポス理論を書き直すことが可能でなければならないことを意味しますか？
編集（28.01.2021）：非常に役立つ回答をありがとうございました！私は今、状況をより明確に把握していると思いますが、質問に対する答えが何であるかはまだ正確にはわかりません。
私が理解していることから、この方向での（大まかに）最良のメタ定理は次のとおりです（HTTに特化）。HTTが2つの到達不能基数を修正することを思い出してください$\kappa_0$ そして $\kappa_1$、したがって、小さなためのスペースを作ります（ $V_{\kappa_0}$）、大（ $V_{\kappa_1}$）、および非常に大きい（ $V$）オブジェクト。次に、次の公理システムでHTTを読み取ろうとします（これは本質的に、Fefermanの記事「圏論の集合論的基礎」の1つであり、以下のRodrigo Freireの回答でも提案されています）。
（i）通常のZFC公理
（ii）他の2つの記号 $\kappa_0$ そして $\kappa_1$、彼らが枢機卿であるという公理で、その共終数 $\kappa_0$ 数えられない、そしてその共終数 $\kappa_1$ より大きい $\kappa_0$。
（iii）すべての式についてそれを言う公理スキーマ $\phi$ 集合論の、 $\phi\leftrightarrow \phi^{V_{\kappa_0}}$ そして $\phi\leftrightarrow \phi^{V_{\kappa_1}}$。
次に、反射原理を使用して表示できます（証明のスケッチについては、以下のロドリゴフレイレの回答を参照してください）。
定理。この公理システムは、ZFCよりも保守的です。言い換えれば、この形式体系の定理で、$\kappa_0$ そして $\kappa_1$ ZFCの定理でもあります。
これはまさに私が望んでいる結論です。
ご了承ください $V_{\kappa_0}$ そして $V_{\kappa_1}$ はZFCのモデルですが、（批判的に！）ZFCは有限に公理化可能ではなく、ZFCの個々の公理のみが（iii）によって仮定されるため、これは形式システム内で証明できません。
この公理システムの良い点の1つは、「この定理を小さなカテゴリで証明しましたが、大きなカテゴリにも適用できる」という形式の時折の引数を明示的に許可することです。
より正確な質問は次のとおりです。
HTTの議論はこの正式なシステムで機能しますか？
のセクション11のマイクShulman https://arxiv.org/abs/0810.1279ここでの潜在的な問題が何であるかを非常に明確に説明します。つまり、あなたがセットを持っている場合$I\in V_{\kappa_0}$ とセット $S_i\in V_{\kappa_0}$ にとって $i\in I$、あなたはの和集合が $S_i$ にあります $V_{\kappa_0}$。この結論は、関数が$i\mapsto S_i$ でも定義されています $V_{\kappa_0}$ （または $I$数えられない共終数の追加の仮定により、数えられます）。実際には、これは、何かが「小さい」と主張したい場合（つまり、$V_{\kappa_0}$）、この判断はオブジェクトだけでなく、射などにも関係します。これが実際にどれほどの問題であるかは今のところはっきりしていません。もっと考えなければなりません。この正式なシステムを満たすためにHTTを読むのは非常に簡単だと実際に想像するかもしれません。シュルマンは、この警告で随伴関手定理を証明できると言っており、ルーリーが彼の答えで述べているように、HTTの議論は同様の集合論的複雑さです。しかし、質問に対する答えが「はい、書かれているとおり」なのか、「おそらくはい、しかしあなたは少し努力しなければならない」なのか、実際には「そうではない」なのか、私はまだ判断に興味があります。（私は、専門家が答えがこのスペクトルのどこに当てはまるかについて大まかに合意できることを心から願っています。）
最後の注意：上記の「非可算」の仮定は少し恣意的であると感じるかもしれません。少し大きい組合を許可してみませんか？これを処理する1つの方法は、シンボルを追加することです$\kappa_{-1}$ 同じプロパティで、代わりに $\kappa_0$ より大きい $\kappa_{-1}$。同様に、境界を置き換えたい場合があります$\mathrm{cf} \kappa_1>\kappa_0$ のようなわずかに強い境界によって $\mathrm{cf} \kappa_1>2^{\kappa_0}$いう。繰り返しますが、それが物事を単純化する場合、1つは別のものを絞ることができます$\kappa_{1/2}$ その間に、 $\mathrm{cf} \kappa_{1/2}>\kappa_0$ そして $\mathrm{cf} \kappa_1>\kappa_{1/2}$。このようにして、いくつかの証明に現れる「標準」オブジェクトのいずれかが可算サイズのままであるかどうか、またはまだ共制限をとることができるかどうかを心配する必要はありません。$V_{\kappa_1}$ インデックスセットのサイズが正確に制限されていない場合 $\kappa_0$ しかし、少し操作されています。
PS：私は今、関連する以前のMOの質問と回答をすべて見つけています。いくつかの非常に関連性のあるものは、こことここでのジョエル・ハムキンスの答えです。
回答
私は手足に出かけて、本HTTが代わりよりも強力なものを決して使用しないことを提案します $\Sigma_{15}$-集合論の公式。（ここに$15$ はランダムに選択された多数であり、HTTはランダムに選択された数学の本であり、特に集合論に関するものではありません。）
私の元の答えに対するGabeのコメントを反映して、私が書いたものは、2つの別々の（しかし関連する）主張を統合するため、誤解を招くと思います。
圏論では、到達不能基数の存在は実際には必要ありません。
ZFCの完全な強さは、圏論では実際には必要ありません。
私はこれらの声明の両方に同意しますが、1）誰かを説得する最善の方法は、2）反省の原則と組み合わせることではないと思います：つまり、強く到達不能基数の使用を置き換えようとすべきではありません $\kappa$ そのための1つによって $V_{\kappa}$ ZFCの大部分をモデル化します。
私が見ているように、宇宙が解決する「問題」は、2つのタイプの推論の組み合わせを正当化することです。
A）小さな圏についての定理を証明することが役立つ場合があります $\mathcal{C}$ それらを「大きな」カテゴリに埋め込むことによって（たとえば、米田の埋め込みを使用して）、制限や共制限の存在などの優れた追加機能があります。
B）大きなカテゴリもカテゴリであるため、一般的にカテゴリに適用される定理は、大きなカテゴリにも適用する必要があります。
B）についてのみ心配している場合は、リフレクションの原則が適切である可能性があります。枢機卿の選択$\kappa$ そのような $V_{\kappa}$ ZFCの大きなチャンクを満たす場合、「小さなカテゴリ」を「に属するカテゴリ」を意味するように再定義できます。 $V_{\kappa}$「」および「大きなカテゴリ」は、「必ずしもに属するとは限らないカテゴリ」を意味します $V_{\kappa}$"、そしてあなたが望むかもしれないすべての基本的な定理が両方の場合に有効であるとあなたは確信することができます。
ただし、A）についても心配している場合、これは必ずしも役立つとは限りません。カテゴリから始めたとしましょう$\mathcal{C}$ 所属 $V_{\kappa}$、そして米田の補題のいくつかのバージョンが必要です。自然な推測は、からのファンクタのカテゴリに埋め込むことです$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ サイズのセットのカテゴリに $<\tau$ （またはそれのいくつかの同等のモデル）、いくつかの枢機卿のために $\tau$。最初の推測はあなたが取る必要があるということです$\tau = \kappa$、しかし私はこれは理にかなっていると思います $\kappa$は非常にアクセスできません（そうしないと、一部のHomセットが大きすぎます）。いずれにせよ、この構造が優れた特性を持っていることを保証するために、枢機卿のさまざまな特性を要求したいと思うでしょう$\tau$。たとえば、このカテゴリの前層に多くの共限界を持たせたい場合は、次のようになります。$\tau$大きな共終数を持つこと。そして、どのような追加の仮定を行う必要があるかを考え始めると、最初の場所に戻ります。どのようなカーディナリティ推定値が「サイズのセットの前層」を保証するかを考えることです。$< \tau$"は、セットのすべての前層のカテゴリの適切な近似値です。したがって、反射の原則は、これらの問題を回避するのに実際には役立ちません。
（編集：以下のテキストは主にPeterの元の投稿を繰り返していることに気づきました。しかし、誰かがそれを役立つと思う場合に備えて、ここに残しておきます。）
ZFCのようなもので厳密な形式化が必要な場合は、おそらく、大きなカテゴリを完全に廃止するのが最善の方法です。したがって、B）は問題ではありません。A）に対処するために、話したい「大きな」カテゴリの多くは特定の方法で発生することに注意してください。小さなカテゴリから始めます。$\mathcal{C}$ すでに特定の種類の限界があり、正式に拡大します $\mathcal{C}$ より大きなカテゴリーを作るために $\mathcal{C}^{+}$これには任意の共限界があります（最初に使用したものを変更せずに）。このように発生するカテゴリは、ローカルで表示可能と呼ばれ、次の簡単な式があります。$\mathcal{C}^{+}$：関手圏です $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \rightarrow \mathrm{Set}$ これは、あなたが始めた限界（つまり、あなたが始めた限界）を保持します $\mathcal{C}$）。
さて、小さなカテゴリの世界でこれを模倣したい場合は、代わりにいくつかの枢機卿を選ぶことができます $\kappa$ 代わりに関手を熟考する $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \rightarrow \{ \text{Sets of size < $\ kappa$} \}$、これは小さなカテゴリに相当します $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$。あなたが出会う質問は、これが大きなカテゴリーの十分な代替品であるかどうかです$\mathcal{C}^{+}$上記。たとえば、多くの制限と共同制限がありますか？すべてのcolimitを含めるように要求するのは無理ですが、代わりに次のように要求することができます。
Q）カテゴリはありますか $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$ サイズの図でインデックス付けされた共限界がある $< \kappa$？
Q）の答えは、「一般的にはいいえですが、 $\kappa$ うまく選択されています」。たとえば、無限の枢機卿がいる場合 $\lambda$ のサイズを制限する $\mathcal{C}$ そして、あなたが始めた共極限図の数、そして私はあなたが（i）を取ることによって保証できると信じています $\kappa = (2^{\lambda})^{+}$ （およびカテゴリ $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$期待される普遍性によって特徴付けることができます）。さらに、これを証明するために、いかなる形式の交換も必要ありません。
今、あなたはまた次のように尋ねることができます：
Q '）カテゴリはありますか $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$ サイズの図でインデックス付けされた制限があります $< \kappa$？
ここでは、答えは通常「いいえ」です。 $\kappa$強くアクセスできません。ただし、特定のタイプの制限のみに関心がある場合（たとえば、グロタンディークトポスを研究している場合は、有限の制限に特に関心がある可能性があります）、答えは再び「はい」になります。$\kappa$ よく選ばれました」。これは、ZFCをほとんど使用しないことで証明できるものです。
さて、私の主張は、私の経験に基づいて、上記の議論は、「小さい」カテゴリと「大きい」カテゴリの区別をナビゲートしようとするときに遭遇する種類の質問の代表であるということです（確かにそれはこれらのものの方法の代表です元の質問が尋ねた私の本に出てきます）。実際には、次のような大きなカテゴリ全体について話す必要はありません。$\mathcal{C}^{+}$; それの十分な大きさの部分を構築するのに十分です（のように$\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$）あなたが見たい機能を持っている、あなたはそれを選ぶことによって手配することができます $\kappa$ 慎重に。
ZFCで物事がどのように形式化されるかという問題を無視し、「大きな」カテゴリの観点から物事を表現する方が概念的に明確だと思います。 $\mathcal{C}^{+}$、その「小さな」近似に戻って参照します $\mathcal{C}^{+}_{\kappa}$証明の助動詞としてのみ（必然的にどこかに現れるでしょう！）。「宇宙」の呼び出しは、ZFCの公理的フレームワークにリップサービスを払いながら、このように書くための単なる方法であり、間違いなく不可欠です。
まだ指摘されていないと思います。元の質問は
集合論的言語では、非常にアクセスしにくい基数を修正します $\kappa$...これはステージが $𝑉_\kappa\subset 𝑉$ 「サイズのセット $<\kappa$「それ自体がZFCのモデルです。
しかし、その声明 $V_\kappa$ ZFCのモデルはそれを言うよりもかなり弱いです $\kappa$アクセスできません。実際、$\kappa$ アクセスできない場合は $\{ \lambda\mid V_\lambda$ ZFCのモデルです $\}$ で静止しています $\kappa$。したがって、アクセスできない最小のもの（存在する場合）は、最小のものよりもはるかに大きくなります$\kappa$ そのような $V_\kappa$ モデルZFC。
リフレクションの原理が有用である限り（他のいくつかの回答が指摘しているように、少なくとも疑問があるかもしれません）、グロタンディーク宇宙の関連する特性がZFCのモデルであるという議論に直接役立つだけです。しかし、少なくとも素朴に定式化された場合、圏論がこれ以上のものを使用する場所はたくさんあります。具体的には、グロタンディーク宇宙が2次置換を満たすという事実を使用します。つまり、任意の関数が$f:A\to V_\kappa$、 どこ $A \in V_\kappa$、画像があります。それを言って$V_\kappa$モデルZFCは、一次置換を満たすことを意味するだけであり、そのような$f$ 画像がある場合 $f$ から定義可能です $V_\kappa$ 論理式による。
二次置換は、通常定式化されている宇宙ベースの圏論に遍在していると私は信じています。たとえば、${\rm Set}_\kappa$ の集合の圏を示します $V_\kappa$、それを証明するために ${\rm Set}_\kappa$ は、ドメインが小さいファンクターの制限とコリミットを認めるという素朴な意味で「完全でココンプリート」です。そのようなファンクターの画像を1つのセットに収集するには、2次置換が必要です。
さて、これを回避するために圏論を再定式化する方法があります。McLartyの論文は、いくつかの集合論的な方法でそれを行っています。分類的に一貫したアプローチは、ナイーブな「大きなカテゴリ」（オブジェクトと射のセットが属していない可能性のあるカテゴリを意味する）を置き換えることです。$V_\kappa$）大きい ${\rm Set}_\kappa$-インデックス付きカテゴリ。しかし、これは手作業で実行するはるかに実質的な種類の再編成です。
私が正しく理解していれば、あなたは次の形式のステートメントを求めています：
「ユニバースを使用してHTTで何かが証明された場合、いくつかに制限することで、ユニバースなしで証明できます。 $V_\kappa$ にとって $\kappa$ 十分大きい"
それに対する厳密な答えは、HTTに関する詳細情報がない場合、ZFCが一貫している場合、そのようなステートメントはあり得ないということです。
確かに、宇宙の存在が一貫していない可能性があり（実際、それが一貫していることを証明することは不可能です）、その状況では、宇宙を使用して何でも証明できるので、そのようなステートメントは何でも証明できることを意味しますつまり、ZFCに一貫性がありません。
私は何で何が証明できるかなどについて少しずさんですが、主なアイデアはそこにあります
もちろん、HTTについては知っています。注意深く読むと、ユニバースがどこで使用されているかを分析でき、実際には、最大でZC +置換の推移モデルに置き換えることができます。 $\Sigma_{15}$-ジェイコブが指摘するように、公式。その場合、そのような行儀の良いモデルが存在する可能性が高いので（形式の）$V_\kappa$、 にとって $\kappa$厳選された）、これは問題ではありません。そしてHTTはユニバースなしで書き直すことができます-しかしこれはHTTに何があるかについての知識なしでは証明することができません。
これの「道徳的」は、ほとんどの主流圏論の質問では、宇宙は時間節約の装置であり、数学の実際の部分ではないということです。
任意の定理 $T$ の $\mathsf{ZFC}$ の公理の有限部分集合から続く $\mathsf{ZFC}$ または、物事を単純にするために、 $\mathsf{ZFC}$ ここで、置換の公理スキームはに制限されています $\Sigma_n$ 述語¹、これを呼び出す $\mathsf{ZFC}_n$。今$\mathsf{ZFC}$、より正確には $\mathsf{ZFC}_{n+1}$、任意に大きな基数の存在を証明します $\kappa$、数えられない共終数の強い限界、 $V_\kappa$ のモデルです $\mathsf{ZFC}_n$、そして特に定理の $T$、さらに、その真理値は $\Sigma_n$ ステートメント、パラメータ付き $V_\kappa$ で同じです $V_\kappa$（真の）宇宙のように。これらを呼び出すことができます$V_\kappa$ 「限定された宇宙」は、交換が可算（便宜上含まれている）または制限されている必要があることを除いて、べき集合を取るようなほとんどの集合論的操作の下で閉じられているという点で $\Sigma_n$述語; 特に、それらは存在ステートメントの下で閉じられます$T$ 作る。
したがって、アイデアは上記を合同に適用することです $T$ 高次トポス理論（および前提条件として使用されている他の理論）の一部であるとみなすすべての定理の中で、適切なものを見つけます $n$。（私は実際にそれを疑っています$n=1$ 十分なはずです：私は通常の数学で次のことを行わない置換の例を見つけることは非常に驚きます $\Sigma_1$-交換。）次に $\mathsf{ZFC}_n$ 証明するだろう $T$ （理論のすべての定理）および $\mathsf{ZFC}_{n+1}$ 理論を使用するための限られた宇宙の無限の供給の存在を証明するでしょう。
もちろん、無限ループを回避するために、その定理（無限の供給の存在を主張するもの）を考慮することはできません$V_\kappa$）理論の一部になるか、より大きなものに移動する必要があります $n$。
論理的矛盾のように見えるかもしれないことを説明するために、ここでは、多くのモデルの存在が $\mathsf{ZFC}_n$ で証明することができます $\mathsf{ZFC}$ すべてのための $n$、しかし均一ではありません（証明はますます長くなります $n$ 成長する）、そう $n$全称記号（以上）である具体的な自然数で なければなりません$n$）ステートメントはで証明できません$\mathsf{ZFC}$。しかし、あなたの理論が修正され、で定式化されている限り、これは問題ではありません$\mathsf{ZFC}$ （それ自体には、「コンクリートの場合」などのメタ定理が含まれていないことが要求されます。 $n$ 次のことを証明できます $\mathsf{ZFC}$」）。したがって、これがHTTの場合であることを確認するのはあなた次第です（そして、あなたが十分に勇気があるなら、適切なものを見つけてください$n$）。
（枢機卿の種類がどのように関与しているかを理解するためだけに、枢機卿 $\kappa$ そのような $V_\kappa$ のモデルです $\mathsf{ZFC}_1$ の不動点は $\gamma \mapsto \beth_\gamma$関数。私は合理的な説明の希望はないと思います$\kappa$ そのような $V_\kappa$ のモデルです $\mathsf{ZFC}_n$ 任意のコンクリート用 $n\geq 2$。この質問も参照してください。）
- 意味述語はせいぜい $n$ 存在記号で始まり、有界量化を伴う式が続く、有界量化の交互のセット（形式の意味 $\forall x\in y$ または $\exists x\in y$）。
OK、私は今日、HTTを実際に詳細に調べて、これを理解しようと多くの時間を費やしました。それはかなりの乗り物でした。その過程で、私は間違いなく自分の見方を何度も変えました。現在、答えは、書かれているように、HTTはこの正式なシステムで読み取ることができるということだと私には思えます。（つまり、これは、何時間も後に誰かが「はい、それは明らかです」と言う冗談のようなものです。正しい解釈を選択しなければならない点は確かにありますが、他の数学のテキストと同様に、とにかくすでにそうです。）この答えで、私はHTTがこの正式なシステムで読めるという議論を進め、曖昧さが生じた場合に特定のものを解釈する方法と、なぜこのように読むとすべてがうまくいくと思うのかを少し説明しようと思います。でも、大事なことを見落としている可能性が高いので、訂正してください！
Tim Campionが指摘しているように、初期のもののほとんどは問題なく機能します。実際、宇宙についても言及していません。そうでない限り、すべてが$V_{\kappa_0}$、で $V_{\kappa_1}$、および $V$、および指定された公理スキーマは、作成されたすべての構造に互換性があることを保証します。
第5章と第6章に到達したら、さらに注意を払う必要があります。これらの章のいくつかの定義と提案を3つの異なる観点から提示してみましょう。
古典的なZFCの観点、または（同等に）フォンノイマン-ベルネイ-ゲーデル（NBG）理論の観点。これにより、セットに加えてクラスが許可されるため、すべてのセットの（クラスサイズの）カテゴリについて話すことができます。 $\mathrm{Set}$。
ZFC +グロタンディーク宇宙であるHTTの視点。
質問で述べられた形でのフェファーマンの集合論の視点。（実際、これらの共終数の境界が本当に必要かどうかはわかりません。しかし、それらを想定できることを知っておくと便利です。）
尋ねられた質問は、最初の視点に本当に興味があることを前提としていることに注意してください。他の質問は、最初の設定について何かを証明するのに便利な場合に限ります。これは、第5章と第6章の内容と一致しています。提示可能なカテゴリの理論全体が、哲学的にも最初の設定にうまく適合しています。
わかりました。見栄えのするカテゴリを思い出してください。カテゴリではなく、カテゴリに固執させてください。 $\infty$-カテゴリ、違いは私たちの懸念にとって不可欠です-（クラスサイズの）カテゴリです $C$ それはすべての小さな限界を認めます、そしてそのようないくつかの正則基数のために $\kappa$、いくつかの小さなカテゴリがあります $C_0$ と同等性 $C\cong \mathrm{Ind}_{\kappa}(C_0)$、
すなわち。 $C$ 自由に隣接することで得られます $\kappa$-フィルター付き共限界 $C_0$。（特に、$C_0$ の完全なサブカテゴリと必然的に同等です $\kappa$-のコンパクトオブジェクト $C$。）特に、表示可能なカテゴリは、少量のデータによって決定されます。また、アイデアは$C$実際には、すべてのオブジェクト（セット、グループなど）のカテゴリです。この観点は、1）で最も明確に表現されていますが、2）と3）では、プレゼンタビリティの概念が突然再び宇宙に依存し、突然、小さなセット/グループ/ ...のみが含まれています。それに応じて、それらを小さく見栄えのするものと呼びましょう。この概念は2）と3）の両方で意味があり、$V_{\kappa_0}$。小さな提示可能なカテゴリは、特に小さな定義可能であるため、$\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$、ここで、この包含は2）では同等です（3）では同等ではありません）。
2）では、通常、小さな表示可能なカテゴリを、HTTのアプローチである特別な種類の大きなカテゴリとして定義します。しかし、ここで私は実際に少し混乱していることをすでに読んでいます：ファンクターの2つの概念があるようです$F: C\to D$：で定義可能なもの $V_{\kappa_0}$、同等に $F\in V_{\kappa_0+1}$ （つまり、 $V_{\kappa_0+1}$ まさにのクラスです $V_{\kappa_0}$）、またはのすべてのファンクター $V_{\kappa_1}$。ファンクターがいることは私には明らかではないようです$F: C\to D$ に $V_{\kappa_1}$ にあり $V_{\kappa_0+1}$、 なので $C$ そして $D$ 自分たちだけが住んでいます $V_{\kappa_0+1}$。これらの2つの概念の違いは、アクセス可能なファンクターに制限すると消えます。これらはすべて定義可能です。1）は、それが本当に私たちが気にかけるべき最初の概念であると言っていることに注意してください！（この投稿を書く前は、違いに気づいていませんでした。）
3）では、1）で指定された視点を使用するのが適切な方法です。これは、「$V_{\kappa_0}$-定義可能なカテゴリ」なので、 $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$。これらを再び次のように考えることができます$\kappa_1$-小さなカテゴリ。最初は2）と3）のアプローチに大きな違いがあると思いましたが、実際にはどちらの場合も、アクセス可能なファンクターに制限すると調整される2つの異なるファンクターの概念に到達するようです。
主な定理の1つは、随伴関手定理です。 $F: C\to D$は、すべての小さな随伴を保持する表示可能なカテゴリの関手であり、適切な随伴を認めます。この定理は実際にはどういう意味ですか？
1）では、ファンクターがあることを意味します $G: D\to C$ -これは特に、クラスサイズのカテゴリ間のファンクタが-通常の条件を満たす（定義可能な！）単位およびコユニット変換とともに、数式で定義可能でなければならないことを意味します。
2）では、1つは単に $C$ そして $D$ で考慮したときに小さいとして $V_{\kappa_1}$そしてそこに正しい随伴作用素の存在を主張します。さらなる情報がなければ、これは実際には、先験的に、1）で私たちが望んでいたものを与えていないようです$G$（そしてユニットとコユニットの変換）はすべて、より大きな宇宙にあります。しかし、この情報は、次のことを覚えておくことで取得できます。$G$ は実際にアクセス可能であるため（上記で述べるために省略した随伴関手定理の一部ですが、含める必要があります）、すべてがセットで決定されます。
3）では、もう一度1）の結果を取得したいのですが、最初にそのようなデータの存在を証明することにより、2）のようにこれを試みることができます。 $V_{\kappa_1}$ そして、アクセシビリティを証明し、すべてがにあることをもたらします $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})$。
ユニバースが使用されている第5章のいくつかの初期の場所で、これがどのように機能するかを見てみましょう。
定義5.1.6.2： $C$すべての小さな限界を認めるカテゴリーであること。オブジェクト$X\in C$ファンクターの場合は完全にコンパクトです$j_X: C\to \widehat{\mathrm{Set}}$ 共催 $X$ 小さな限界を保持します。
ここに $\widehat{\mathrm{Set}}$ の（非常に大きな）集合の圏です $V_{\kappa_1}$。上記のシステムでこの定義が何を意味するかを解釈してみましょう。
ここに $C$任意の（おそらくクラスサイズの）カテゴリです。特にHTTでは、「局所的に小さい」は標準的な仮説ではないため、これにより、2つのオブジェクト間の射でさえ適切なセットになることに注意してください。このため、ファンクターは本当に行かなければなりません$\widehat{\mathrm{Set}}$、これはこの設定では話せないことです。したがって、この異議を満たすために条件を再定式化する必要があります。これは難しいことではありませんが、少し厄介かもしれません。
私はそれが定義に暗示されていると思います $C$ にあるすべてのカテゴリです $V_{\kappa_1}$。これは、1）の設定を厳密にキャプチャしています。$C$ は小さい-1）から来るものとして定義可能であり、その後、 $C$ 自動的に小さく定義できます。
ここでは2つの選択肢があります：1）からのものか2）からのもののどちらかであり、それらは異なる概念を与えます。対立する場合は、1）からの視点が正しいので、$C$は小さく定義可能であり、小さく定義可能な図の極限を使用した転流を要求します。しかし、1）で条件を定式化するのに苦労しましたが、3）で手元にある宇宙は、条件を定式化できることを意味します。$C$ でcolimitsに $\widehat{\mathrm{Set}}$。ここに$\widehat{\mathrm{Set}}$ セットは $V_{\kappa_1}$。
したがって、この場合、結果として、3）解釈について少し注意する必要がありますが、1）正しい定義を与えることができます。そして、システムは実際に役立ちます。
命題5.2.6.2： $C$ そして $D$カテゴリになります。次に、カテゴリ$\mathrm{Fun}^L(C,D)$ からの左随伴関手の $C$ に $D$、および $\mathrm{Fun}^R(D,C)$ からの右随伴関手の $D$ に $C$ （標準的に）互いに同等です。
この観点では、この命題は次の場合にのみ本当に意味があります $C$ そして $D$ そうでなければ小さいです $\mathrm{Fun}(C,D)$大きすぎます。（そのような関手圏を検討したいのは$C$ そして $D$表示可能（またはアクセス可能）ですが、アクセス可能なファンクターに制限する場合に限ります。これは、第5章の後半で説明する議論です。）次に、ステートメントは十分に明確であり、与えられた証明が適用されます。
この観点では、別の宇宙で同じ結果を定式化できることを除いて、1）と同じだと思います。
こっちも一緒。
ただし、現状では、1）の場合、この提案は（まだ）適用できないことに注意してください。 $C$ そして $D$見栄えがします。2）と3）では、（小さい）表示可能なものは特別な大きいカテゴリであり、結果が適用されます。ただし、関手圏とその同等性はすべてより大きな宇宙に住んでおり、どちらにも存在するという情報は得られないことに注意してください。$V_{\kappa_0+1}$ または $\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})$。
次の命題は前層のカテゴリーを考慮します $\mathcal P(C)=\mathrm{Fun}(C^{\mathrm{op}},\mathrm{Set})$、そして証明はホモトピーコヒーレンスの問題を解決するために、より大きな宇宙への通過を含む典型的な議論です。
命題5.2.6.3： $f: C\to C'$ 小さなカテゴリー間の関手になりましょう $G: \mathcal P(C')\to \mathcal P(C)$ との組成によって誘発された前層カテゴリーの誘発された関手であること $f$。その後、$G$ 随伴関手です $\mathcal P(f)$。
ここに $\mathcal P(f)$ のユニークな小さな極限保存拡張であると定義されています $f$ （米田の補題の下）。
ここでは、2つのクラスサイズのカテゴリとそれらの間にファンクタがあり、すべて定義可能です（必須です）。命題は、（定義可能な！）単位とコユニットの変換を見つけて、いくつかの図を通勤させるように要求します。これはそれほど難しいことではないようです。しかし、$\infty$-カテゴリ、ファンクターを手動で定義するのは難しいことで有名なので、これは実際にはルリーが進める方法ではありません！
ここに $\mathcal P(C)$ そして $\mathcal P(C')$特別な大きなカテゴリです。ルリーは実際、証明に埋め込まれた大きな米田を適用します。ですから、これは実際には、いくつかのより大きな宇宙でのみユニットとコユニットの随伴関手を生み出しています。上で議論したように、私はこの証明が実際に私たちが1）で望んでいたものを与えないと思います！
Lurieが行うように、より大きな「宇宙」でデータを生成することについて議論することができます。（編集：実際、Tim Campionが指摘しているように、書かれていることを正当化するために最小限の迂回をしなければなりません。彼の答えへのコメントを参照してください。）
したがって、この命題を読むときは、システム2）または3）のいずれかで、これまでのところ証明されたステートメントが素朴に期待するよりも弱いという精神的なマーカーを作成する必要があります。しかし、これは、すべてが少量のデータによって決定されることを観察することによって、後で修正されます。
結論：最初は2）と3）の間に実質的な違いがあると思いましたが、実際には（ほとんど）何もないと思います。1つの違いは$\mathrm{Def}(V_{\kappa_0})\subset V_{\kappa_0+1}$ は適切な包含ですが、実際には、 $V_{\kappa_0+1}$ で定義可能性を証明することのようです $V_{\kappa_0}$ （たとえば、特定のファンクターにアクセスできることを証明することによって）。
OK、なぜこれが機能しないのか教えてください！:-)
高い論理強度を表現することは、代数幾何学と数論のための適切に統一された論理フレームワークを表現することとは異なる目標であるため、この質問に答えることは、高次トポス理論に何を求めるかによって大きく異なります。一般的なカテゴリ数学の統一された強力な基盤は1つの優れた目標であり、ここでは多くの貢献者の目標のようです。その目標には、この質問に対するコメントと回答で述べられているすべてが関連しています。しかし、幾何学と数論の適切な仕事は、広大な論理的強さを必要としません。
HTTはSGAよりも宇宙と絡み合っていますが、HTTもSGAも（非常に強力な）置換の公理スキームを実際に利用していません。したがって、彼らはグロタンディークよりも根本的に弱い「宇宙」を使うことができます。典型的で密接な例として、グロタンディークは、置換の公理型スキームにたった1つのアピールをしました。これは、生成セットを持つすべてのAB5カテゴリに十分な単射があるという彼の非常に重要な証拠です。そして、この交換の使用は排除可能であることが判明しました。それはうまくいきましたが、グロタンディークは実際に彼の結果を得るためにそれを必要としませんでした。
グロタンディークの置換の使用を拡張するには：1940年代のラインホルトベーアは、モジュール（任意のリング上）に十分な単射があることを証明するために超限帰納法（置換の公理スキームが必要）を使用しました。彼は意識的に新しい証明技術を模索していて、良い結果を得ました。グロタンディークの東北は、少数のジェネレーターを備えたすべてのAB5カテゴリを示す形式でその証明をキャストしました。数年後、グロタンディークは、これがトポスコホモロジーに必要な定理であることに気づきました。BaerとGrothendieckはどちらも、基礎の懸念に縛られることなく、実用的な目標を持っていましたが、どちらも基礎を正しくしたいと考えていました。そして彼らはそうしました。しかし、最初に十分な大きさの関数セットを指定することで、置換なしで、ほぼ同じ証明によって、同じ定理を正しく取得できた可能性があります（べき集合を使用しますが、置換は使用しません）。真に置換公理スキームを必要とする結果があります。しかし、これらの結果が基礎研究以外で発生することはめったにありません。
1960年代以降、非常に異なる角度から来た多くの人々（一部の論理学者、一部の嫌いな論理）は、代数幾何学と数論の文脈では、グロタンディーク宇宙公理の高い論理的強度は実際には未使用の副産物であると述べています。コホモロジーのための統一されたフレームワークに対するグロタンディークの願望。これは非常に正確になります。導来関数のトポスのコホモロジーだけでなく、トポスの2つのカテゴリ、および導来圏を含むグロタンディーク装置全体は、グロタンディークによって形式化されたのとほぼ同じ方法で形式化できます。ツェルメロフレンケルまたはツェルメロ集合理論をはるかに下回る論理的強度。同じことがHTTにも当てはまります。広大な（そしてめったに使用されない）交換の強さを必要としない限り、アクセスできない宇宙や反射なしでそれを手に入れることができ ます。HTTの証明は実際には与えられていません。それはグロタンディークの宇宙の使用のためでした。同じことがHTTでも機能することは明らかです。
必要な論理的強さは、単純型理論（算術付き）、有限次数算術、集合の圏の初等理論、有界量化ツェルメロ集合論など、さまざまな方法で表現されています。大まかに言えば、自然数のセットを仮定し、すべてのセットにべき集合があると仮定しますが、べき集合の無制限の反復を仮定しません。宇宙のかなり素朴な理論は、これらのいずれかに対して保守的であり（Godel-Bernays集合論がZFCに対して保守的である方法）、グロタンディーク学校のすべての大規模構造装置に適切です。
定数の追加によってZFCから取得されたZFCの保守的な拡張を検討します $\alpha$ および次の公理：
$\alpha$ 序数です（$Ord(\alpha)$）。
文 $\phi\leftrightarrow\phi^{V_\alpha}$、元の言語の各文に対して $\phi$ （公理型）。
$V_{\alpha}$ として動作します $V$（集合論の言語のすべての文に対して）。2つ（またはそれ以上）のユニバースが必要な場合は、別の定数を追加できます$\beta$ 対応する公理、および公理 $\alpha<\beta$。
結果として得られる理論がZFCよりも保守的であるという証明は簡単です。
と仮定する $\phi$ 新しい公理（を使用する公理 $\alpha$）、 その中で $\phi$元の言語です。どんな証明も有限であるため、有限の数の文があります$\phi_1$、...、 $\phi_n$ そのような
$Ord(\alpha)\wedge(\phi_1\leftrightarrow\phi_1^{V_{\alpha}})\wedge...\wedge(\phi_n\leftrightarrow\phi_n^{V_{\alpha}})\rightarrow \phi$
新しい公理なしで証明可能です。したがって、人は考えることができます$\alpha$自由変数として、上記の文はZFC（定数の定理）で証明できます。以来$\alpha$ では発生しません $\phi$、次の含意はZFCで証明可能です（$\exists$-前書き）：
$\exists\alpha(Ord(\alpha)\wedge(\phi_1\leftrightarrow\phi_1^{V_{\alpha}})\wedge...\wedge(\phi_n\leftrightarrow\phi_n^{V_{\alpha}}))\rightarrow \phi$
さて、ZFCの反射原理は、先行詞がZFC定理であると言っています。モーダスポネンスから、ZFCは証明します$\phi$。
したがって、新しい公理を使用して作業することができます $V_{\alpha}$ 宇宙として振る舞い、言及されていないことが証明されているすべてのもの $\alpha$ ZFCですでに証明できます。
コメントで出てきた質問は、質問をする動機についてでした。ここでこれに対処してみましょう。
何よりも、それは学習についてです！最初の質問で述べたように、私はいくつかの「愚かな」枢機卿の限界をいじくり回し、後で反射の原理について学んだので、それが何ができるか（そして何ができないか）、そして私がどういうわけか、そのような見積もりのさらに複雑なバージョンをこのマシンに自動的に委任することができます。だから、それはあなたが暗い部屋でつまずいていて、部屋が照らされていることを非常に望んでいるという通常のことです！だから、輝かしい答えをありがとう！
もう1つの理由は、最近、目前の問題に対するグロタンディーク宇宙の解決策に少し不満を感じたことです。説明させてください。
すべてのセット、またはすべてのグループなどのカテゴリについて話したいので、それについての定理を証明したいと思います。そして、少なくともクラスを許可するZFC理論のフォンノイマンベルネイスゲーデル（NBG）バージョンでは、これは完全に有効な概念です。ですから、この設定で作業することは存在論的に非常に喜ばしいことであり、随伴関手定理がその意味で（表現可能な）カテゴリーに関する定理であることを非常に望んでいます。
現在、表示可能なカテゴリは少量のデータによって決定されるため、常にこの少量のデータを処理し、相対的なサイズを注意深く追跡できます。実際、HTTの多くの証明は、そのような相対的なサイズを明示的に追跡しますが、最初に「より広い視野」を取り、これらの大きなカテゴリを小さいかのように見るとよい場所がまだいくつかあります。
確かに、随伴関手定理は大きなカテゴリー間の関手に関するものであり、NBG / ZFC内からこれについて話すことはすぐに厄介になります。随伴関手定理の記述は完全に理にかなっていることに注意してください-それは随伴のすべてのデータが定義可能であることを要求するだけです。しかし、これらのことを「内」から話そうとするのは少し厄介です。したがって、これらの大きなカテゴリーについて議論し、それらが小さいふりをするために使用するある種のメタ理論があることは間違いなく素晴らしいでしょう。「内からの定義可能性」という微妙な質問は、このメタ理論では先験的に失われているかもしれませんが、私が望んでいたのは結局すべてのセットに関する定理だったので、私はこの「内からの定義可能性」の質問を中心と考えています。少し注意を払う必要がありますが、パンチラインを取り除くために、これがグロタンディーク宇宙での作業とフェファーマンの「宇宙」での作業の違いであることがわかります。
つまり、これがグロタンディーク宇宙の目的です。現在作業している宇宙に対して、常により大きな宇宙を提供します。グロタンディーク宇宙の存在は完全に直感的であり、実際、それらの存在を仮定することは、そもそも無限のセット：あなたはあなたがすでに持っているすべてのものをそれ自身のより大きな実体に集めることを許しているだけです。
しかし、今では突然、すべてのセットが小さなセットと呼ばれ、大きなセットもたくさんあると思っていました。したがって、この設定で随伴関手定理を証明したとしても、それはもはやすべてのセット/グループ/ ...のカテゴリ間の関手に関する定理ではなく、小さなセット/グループ/ ....間の関手の1つだけです。考えてみてください。ZFC+グロタンディーク宇宙でも、すべての集合のカテゴリーについて、実際に望んでいた定理を証明することはできません。（実際、ごく最近まで、随伴関手定理（$\infty$-categories）は、「ZFC + Universes」で証明されたZFCのステートメントですが、それは正しくありません。証明されたステートメントは、ZFC + Universesでのみ定式化できます。）
証明されているのは、随伴関手定理が成り立つことは一貫しているということです。つまり、ZFC +ユニバースの一貫性を前提として、定理が真であるZFCのモデル（ZFC +ユニバースのモデル内の小さなセットのモデル）を作成しました。これで、「ZFC +随伴関手定理」という理論で作業できるようになりました。この理論では、随伴関手定理をすべてのセット/グループ/ ...のカテゴリに適用できますが、それは間違いなく私にはごまかしのように感じます。「ZFC +宇宙+随伴関手定理」が一貫していることさえ証明していません！（ZFC +ユニバースよりもわずかに高い一貫性から始めて、$\kappa$ そのような $V_\kappa$ZFC +ユニバースを満たします。繰り返しになりますが、それは私には完全に公正な仮定のように思えます-そのまま続けてください。）しかし、小さなセットでも証明された定理を暗黙的に呼び出し始めると、不注意に一貫性のはしごを登る危険性が見られるかもしれません。以下のためのすべてのセット。
ZFC +グロタンディーク宇宙では、小さな集合について証明したことはすべて、すべての集合の周囲のカテゴリ全体についての定理でもあることを知っていれば、はるかに良いでしょう。これは自動ではありませんが、公理型スキーマとして追加できます。圏論の集合論（arXiv：0810.1279）のセクション12のMike Shulmanは、このアイデア（彼はZMCを表す）について説明しています。だが
a）は、この追加の公理型は、私には完全に自明ではありません：なぜする必要があり、すべての小さなセットで本当であるにもすべてのセットのために保持しますか？特に場合は（我々は最初の場所で所望の結果を証明するいくつかの問題があった。また、それは間違いないことに注意してください。ないために保持する任意の小さな集合の概念：むしろ、公理型の保証があることを、いくつかの小さな集合の概念はどのこの種のためにそもそも小さなセットが欲しかったことがなかったので、これは少し疑わしいように見えるので、今はそれらを仮定し、すべてのセットの動作全体を反映するように依頼します。おそらく問題ありませんが、そうではありません。私には自明です。）
b）この公理スキーマの一貫性の強さはかなり高いです：それはマーロ基数の一貫性と同じです。これは、大きな枢機卿が行くようにまだ低めですが、単なるグロタンディーク宇宙（階層の最下部で本当に低い）よりもはるかに高いです。
a）に関して、グロタンディーク宇宙の一貫性から随伴関手定理の一貫性を証明できたという事実は正しい方向を示していますが、これ自体は2つが一緒に一貫していることを保証するものではありません。公理型が合理的であると自分自身に確信させるかもしれないと想像することができますが、それは単なるグロタンディーク宇宙よりもはるかに正当化が必要だと確かに思います。（副次的な質問：「私たちがすでに持っていたすべてのものをまとめることを許可する」という考えを使用して正当化できる大きな枢機卿はどれくらいの大きさですか？これが完全に明確な質問であるかどうかはわかりません...しかし私には、可測基数は、新しい組み合わせ機能の出現を想定しているように見えるので、確かにそのようなものではありません（しかし、私は修正されて喜んでいます）。
私が最近グロタンディーク宇宙に少し不満を抱いたもう1つの理由は、ある意味では集合論的な微妙な点を無視できるようにするためにそれらを使用したいのですが、ある意味では、あなたが指定しなければならないように、それらはあなたを噛むために戻ってきますどの宇宙に特定のものが住んでいるのか。場合によっては、オブジェクトの種類ごとにいくつかの異なるユニバースを指定する必要がある場合もあります（射有限集合の滑車を考えてみてください）。すぐに非常に醜くなることがわかります。私はむしろ、すべてのオブジェクトを1つの宇宙に一緒に住まわせたいと思っています。
ですから、射有限集合の滑車について考えているうちに、私は1つの宇宙だけで、より感覚的かつ存在論的に満足できる解決策を見つけるようになりました。この解決策（凝縮された集合）は、ZFCで問題なく形式化できます。
さて、グロタンディーク宇宙は、彼らが解決しようとした問題を実際には解決しなかったと私は主張します。
a）それでも、すべてのセット/グループ/ ...のカテゴリに関する定理を証明することはできません（一貫性の結果として、またはより強力な大きな基数公理の下を除く）
b）それらを使用する場合でも、サイズの問題について心配する必要があります。すべてのセットのカテゴリが、さまざまなサイズのすべての種類のセット（つまり、さまざまなユニバース）に階層化されます。
さらに、それらはまた一貫性の強さを高めます。
さて、ここでのこの素晴らしい議論の後、私はフェファーマンの提案が実際にははるかに優れていると思います。しかし、マイク・シュルマンもコメントしたように、私はフェファーマンの公理を存在論的に正しい世界を説明しているとは見なしませんが、フェファーマンの理論の「宇宙」は、大きなカテゴリーを小さなものとして話すために、単に便利なものと見なします。言い換えれば、フェファーマンの理論は、「外部」からそのような大きなカテゴリーについて議論するためのメタ理論を正確に提供します。しかし、それは私がZFCの定理の証明を与えるためにのみ使用する理論です。グロタンディーク宇宙と比較して、フェファーマンの理論
a）のないあなたがのカテゴリに関する定理を証明することができ、すべてのことが明示的に小さなセットに関するすべての定理はまた、すべてのセットについての定理であることを公理型が含まれているため、セット/グループ/ ...。
b）もちろん、いくつかの重要なサイズの問題を引き起こすZFCの定理の証明の範囲内で、この理論によってさまざまなサイズについて話すことができることを歓迎します。さらに、ZFCのすべての公理を各「宇宙」に適用できる方法でこれを行い、（潜在的に非常に微妙な）基本的な境界の観点からすべてを書き直す方法の「舞台裏」にも注意を払っています。 ZFC自体で。つまり、ZFCでの難しい基本的な見積もりを含む議論のための高級プログラミング言語のようなものです。
さらに、一貫性の強度は向上しません。実際、この言語で証明されたZFCのステートメントは、ZFCの定理です。（私が上で思い出したように、私たちはグロタンディーク宇宙でa）+ b）を持つこともできましたが、その後マーロ基数の一貫性に達するでしょう。）
つまり、結果として、フェファーマンの宇宙は、グロタンディーク宇宙よりも「大きなカテゴリーについて小さなもののように話す」というメタ理論を提供するという問題を解決する上ではるかに優れた仕事をしていると思います。
質問をする最後の理由をいくつか追加しましょう。HTTに配置されているような、より高いカテゴリーの手法は、それらが発生した代数的トポロジーだけでなく、すべての数学において非常に中心的な重要性を持っていると思います。数論と代数幾何学に関しては確かにそれを証明することができます。したがって、それらの中心性は、それらの一貫性の強さを分析する重要な理由でもあります。
HTTを読むことは非常に重要な問題です-それは長くて複雑です。しかし、数論の同僚の中には、 HTTを読めなかった主な理由の1つは、それが宇宙を使用していることであると言っています。つまり、それらはZFCに（そして細心の注意を払ってチェックすることに）非常に慣れているので、引数でのユニバースの使用を自動的に排除しようとします。現在SGAでは、少なくとも合理的なスキームのエタールコホモロジーへの適用にのみ関心がある場合、これは手作業でできることでした。たとえば、可算性の仮定をいくつか追加して、物事を小さくします。しかし、HTTでは、あなたが読んでいるときに誰かが枢機卿の境界を入れることができる方法は見当たりません-議論はこれにはあまりにも複雑です。
だから今、私は彼らに、すべてがZFCで機能することを確認でき、フェファーマンの集合論で読んだ場合でも、HTTを（本質的に）書かれたとおりに読むことができることを伝えたいと思います。彼らが注意深くチェックする場合（彼らはそうするでしょう）、彼らはまだここに小さな補題とそこにいくつかの小さな余分な議論を記入する必要があるかもしれません-しかし彼らはとにかく、1000ページまでの本でそうしなければならないでしょう、そして私は想像するかもしれませんこれらの副次的な発言の半分未満が、グロタンディーク宇宙をフェファーマンの「宇宙」に置き換えることに関係しているということです。誰かが実際にそのプロジェクトに着手した場合、もちろん、この重要な仕事に成功した場合、彼らは完全な信用に値します！
最後に、フェファーマンの理論への翻訳における重要な重要なポイントと思われるものについて簡単に説明します。ティム・カンピオンが彼の答えで提起した点に感謝するようになりました、そして今、これはジェイコブ・ルーリーの2番目の答えでも言及されていることがわかります。おおざっぱに言うと以下です。場合$C$ 見栄えのするカテゴリです、そしていくつかの小さなカテゴリがあります $C_0$ そのような $C=\mathrm{Ind}_\kappa(C_0)$
いくつかの正則基数のために $\kappa$、すべての小さなものに自由に隣接 $\kappa$-フィルター付き共限界。これは$C$ 当然のことながら $C_\tau$の、ここで $C_\tau$ 収集するだけです $\tau$-小さい $\kappa$-フィルター付き共限界。ここに$\tau$ 次のような正則基数です $\tau\gg \kappa$。この増加する構造$C$ の連合として $C_\tau$は提示可能なカテゴリの理論の中心ですが、レベルは実際には（特定の）正則基数によって列挙されます $\tau$。あなたがあなたの宇宙を増やすならば、あなたはまたより大きなバージョンを手に入れます$C'$ の $C$ それ自体、そしてグロタンディーク宇宙では $C$ 今では素晴らしいレイヤーの1つです $C'_\tau$ の $C$、 どこ $\tau$前の宇宙のカットオフ枢機卿です。しかし、フェファーマンの宇宙では、これは$\tau$定期的ではありません。これはいくつかの議論をより微妙にするかもしれませんが、私は通常、単に埋め込むことによってこの問題を解決できると期待しています$C$ いくつかに $C'_\tau$ と $\tau$ 小さな宇宙のカットオフ枢機卿よりも大きいいくつかの正則基数。
枢機卿を含む正式なシステムに物事を釘付けにする編集に応えて $\kappa_{-1} < \kappa_0 < \kappa_{1/2} < \kappa_1$：
私はおそらくもっと賢明でない手足に出かけて、第1章から第4章をこの正式なシステムに適合させるために、実際の基数演算は必要ないだろうと予測します。むしろ、本のこの部分では、あなたがしなければならないのは、「」という形式の仮説を調べて、さまざまな定理ステートメントに追加することだけです。$X$ です $\kappa_{-1}$-小さい」。結局のところ、本のこの部分は、小さな単純なセットのカテゴリ、小さな単純なカテゴリのカテゴリなどのいくつかの特定の大きなオブジェクトを除いて、実際には小さなオブジェクトのみを扱います。さまざまなモデル構造が構築されますが、いずれの場合も、有限に提示可能なオブジェクト間で共線維化/非周期的共線維化を生成するための小さなオブジェクト引数の特殊なケースを使用することで解決できると思います。したがって、超限帰納法は必要ありません。表面的には、直線化/非直線化は、セット理論を真剣に使用している可能性のある構造のように見えますが、提案された正式なシステムに問題がないことを予測します。
第5章はさらに厄介になります。私は、提示可能なもののコア定理についていくつかの慎重な選択をしなければならないと信じています（$\infty$）-カテゴリ。見栄えのするカテゴリを目立たせるのは、随伴関手定理が非常にきれいにパッケージ化されていることですが、あなたが言うように、通常の随伴関手定理にはこの設定に注意が必要です。そもそも見栄えのするカテゴリーについて考えることのすべてのポイントは、この設定では完全に取り消されていると言っても過言ではありません。「表示可能なカテゴリは、正確に前層カテゴリのアクセス可能なローカリゼーションである」などの基本的なことを証明することはできません。私は、この設定で提示可能なカテゴリーのコア定理の弱いバージョンを定式化することについてどのような選択がなされても、苦しむいくつかのアプリケーションまたは潜在的なアプリケーションがあるだろうと予測します。
第5章と第6章には、次のような特定の非常に大きなカテゴリに関するいくつかの定理も含まれています。 $\infty$-見栄えのするカテゴリ $\infty$-カテゴリと $\infty$-のカテゴリ $\infty$-トポイ[1]。基本的なプレゼンタビリティ理論で遭遇する問題が複雑になることを除けば、これ自体は実際には問題にならないようなシステムのようです。あなたはそれを証明することはできません$Pr^L$ デュアルです $Pr^R$。ジローの定理を証明することはできません（まあ、定義はとにかく流動的であるため、明確にする必要があります：プレシーフカテゴリの左の正確にアクセス可能なローカリゼーションがローカルに小さいものと同じであることを証明することはできません完全性、生成、および正確性の条件を満たすカテゴリ）。したがって、についての定理$\infty$-前層のケースから始めてローカライズすることで証明が進むトポスは、完全に再考する必要があります。
たぶん私はここでオフベースですが、第5章と第6章にはかなりの追加作業と真に新しい数学的アイデアが必要であり、その結果、理論はかなり使いにくくなると思います。
対照的に、小さなパラメータから定義できる大きなカテゴリに注意を限定したい場合は、「小さなカテゴリでこれを証明しましたが、今では大きなカテゴリに適用できるようになりました。もの」、ZFCを離れることなく、プレゼンタビリティのはるかに有用な理論になります。
[1]実際、通常の基礎では、これらのカテゴリーは（同等まで）大きいだけで、それほど大きくはありません（より正確には、それらは持っています $\kappa_0$-多くのオブジェクトと $\kappa_0$-サイズのホムス）ですが、これを示すには少しの作業が必要です。それはこの正式なシステムでも当てはまりますか？よく分かりません。
編集： ペーター・ショルツェの答えに対する長いコメント。
私が今気づいたことの1つは、$\kappa_0$ ではありません $\beth$-固定小数点、その後すべてのセットが $V_{\kappa_0}$ カーディナリティがあります $<\kappa_0$、「小ささ」の概念が倍増するように。幸いなことに、あなたの正式なシステムはそれを証明していると思います$V_{\kappa_0}$ 持っている $\Sigma_1$-交換、これはそれが $\beth$-固定小数点。危機は回避されました！
おそらく、「宇宙の設定」内で定義可能性の仮説を体系的に使用するこのアプローチは、「両方の長所」を組み合わせて実行可能になるでしょう。良い点の1つは、超数学的な仮説を明示的に使用している場合でも、これらの定理をスキーマではなく単一の定理として記述および証明できるように見えることです。
私は命題5.2.6.3（あなたが最後に議論したものであり、随伴関手定理の赤ちゃん版）について少し混乱しています。前層カテゴリーだと思います$P(C)$ それらのファンクターを含むように定義されます $C^{op} \to Spaces$ にある $Def(V_{\kappa_0})$。私たちがより大きな宇宙に移るとき、私たちが期待するので、移行は通常かなりシームレスです$P(C)$ すべてのcolimitsにインデックスを付ける $\kappa_0$-小さなカテゴリ-で作業するのに完全に自然なプロパティ $V_{\kappa_1}$。実際、ルリーの5.2.6.3の証明の最初のステップは、次の事実を使用して、左随伴が存在することを示すことです。$P(C)$すべての小さな限界があります[2]。ただし、現在の設定では、$\kappa_0$ は定期的であるため、 $P(C)$すべての小さな限界があります。私たちが言える最高のことは$V_{\kappa_0}$ 考える $P(C)$すべての小さな限界があります。私たちが働いている限り$V_{\kappa_0}$、このプロパティは、実際にすべての小さなcolimitを持っているのと「同じくらい良い」です。しかし、私たちが上に移動すると$V_{\kappa_1}$、突然、私たちはそれが何であるか、つまり超数学的な性質について考えなければなりません。たぶん後、私は座って、5.2.6.3のルーリーの証明は、この設定で動作させることができるかどうかを確認しようと、私は思うだろう一応それは不明です。
[2]このように抽象的に存在を確認した後でのみ、彼は左随伴が示された関手でなければならないことを示します。もちろん、この操作は実際には追加の合併症であり、$\infty$-カテゴリ設定-通常のカテゴリでは、2つのファンクタの式が随伴であることが直接確認できますが、 $\infty$-カテゴリ左随伴の式は明らかに関手ではありません。