発散級数の部分和の一定シーケンス

Question

調和級数では、 $$|H_{2n}−H_n|\geq \frac{1}{2}$$ すべてのために $n$、これは発散を意味します。ただし、からの部分和$n$ に $2n$、で評価 $n$、等しい $\ln(2)$ すべてのために $n$。これは、部分和のシーケンスが値に収束したことを意味しませんか？$\ln(2)$、これは、級数が収束する必要があることを意味しますか？コーシーの基準や収束などについて基本的なことを理解していないように感じます-これは、間隔で行っている面白いことのために、部分和のシーケンスではありませんか？ご協力いただきありがとうございます。

Answer 1

まず、マイナーなこと：からの部分和 $n$ に $2n$ アプローチ $\ln{2}$、しかし実際にはそれと等しくなることはありません。（なぜ？）

第二に、もっと重要なこと：実際、あなたが示したことは、部分和のシーケンスが $\{ H_n\}$コーシーではないため、収束しません。確かに、それがコーシーだった場合、定義上$|H_{2n} - H_n| \to 0$。これは、$\epsilon > 0$、存在する必要があります $N(\epsilon)$ そのために $|H_m - H_n| < \epsilon$ いつでも $m, n > N(\epsilon)$; 次に、$m = 2n$ ここに。