偏微分方程式の特定の解

Aug 18 2020

これを解決するのに助けが必要です。

微分方程式の特定の解を見つける $$u_y = (5x + 2)u$$ データを満たす $u(x, x^2) = x^3$

私は通常、特性方程式を見つけようとしますが、私は見ることができるだけです $u_y$ ここに。

回答

YiorgosS.Smyrlis Aug 18 2020 at 15:00

適切な積分係数を使用して、をODEとして扱います。 $$ u_y(x,y)=(5x+2)u(x,y)\quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{e}^{-(5x+2)y} u_y(x,y)-\mathrm{e}^{-(5x+2)y}(5x+2)u(x,y)=0 \\ \quad\Longleftrightarrow\quad\frac{\partial}{\partial y}\left(\mathrm{e}^{-(5x+2)y}u(x,y)\right)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \mathrm{e}^{-(5x+2)y}u(x,y)=f(x) $$ 一部の機能について $f(x)$ 見つけられる。

したがって、 $$ u(x,y)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}f(x). $$ さて、 $u(x,x^2)=x^3$、それを提供します $$ x^3=u(x,x^2)=\mathrm{e}^{(5x+2)x^2}f(x) $$ それゆえ $$ f(x)=\mathrm{e}^{-(5x+2)x^2}x^3 $$ 全体として $$ u(x,y)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}f(x)=\mathrm{e}^{(5x+2)y}\mathrm{e}^{-(5x+2)x^2}x^3= \mathrm{e}^{(5x+2)(y-x^2)}x^3. $$