ホモトピー理論定理のために要求された参照

Question

私はこの投稿に出くわしました：私が取り組んでいる定理に必要な結果を正確に述べているコンパクトな位相多様体のホモトピー群。しかし、聴衆はホモトピー理論に精通している必要はないので、参考文献が必要です。

誰かが私が結果を見つけることができる場所を提案できますか？

定理：すべての閉じた、接続されたスムーズ$d$-マニホールド $M$ nullホモトピックではない連続マップがあります $f: S^{d'} \rightarrow M$ いくつかの球のために $S^{d'}$ と $1 \leq d' \leq \dim(M)$。

言い換えれば、 $M$ 閉じて接続された滑らかな多様体である場合、自明ではありません $\pi_{d'}(M)$ いくつかのための $d'\leq \dim(M)$。

Answer 1

これは参照ではなく、短い証拠です。

そうでない場合は、 $d'=1$ わかります $M$ 単純に接続する必要があります。

特に、そのホモロジー群がすべて消えた場合、 $M$収縮可能です。しかし、次元のホモロジー群$> \dim(M)$ 常に消滅し、仮説は（フレヴィッツによる）ホモロジー群の次元が $\leq \dim(M)$ 消える。

これは、 $M$ ポアンカレ双対性（どちらのmodでも不可能）は可縮です $2$、または一体的に $M$ 単連結）

もっと簡単に言えば： $M$ modです $2$-向き付け可能であるため、重要なmodが必要です $2$-コホモロジー、これは次元でなければなりません $\leq \dim(M)$、しかし、Hurewcizの定理によれば、仮説はそうではないことを意味します。