「本物のバタフライ効果」
この質問は、SabineHossenfelderによるこの人気のあるブログ投稿を読んだ後に私が感じる混乱から生じています。残念ながら、これはペイウォールのあるこの論文に基づいています。
主張は次のとおりです。
むしろ、1969年のTellusの論文に示されているように、Lorenzは、特定のマルチスケール流体システムにおける絶対有限時間予測可能性バリアの存在を説明するフレーズを意図しました。これは、十分に長い予測リードタイムの初期条件への継続的な依存の崩壊を意味します。
連続性の崩壊は私にとって完全な驚きでした、そして実際、これが逆の証明の私の草案です：
- 位相空間をコンパクトにサポートし、通常の関数で拡張された関数の線形ベクトル空間を考えてみましょう。 $L_2$ ノルム。
- 関数に対する（古典的な）ハミルトニアンの作用を次のように定義します。 $ \hat{H} A = - i \left\{H, A \right\}_{PB}$。この定義では、演算子は自己随伴であることに注意してください（部分積分を含む引数によって証明できます）。
- ストーンの定理、したがって初期条件に依存連続の内訳は不可能であり、時間の翻訳を強く連続1パラメトリックグループが存在する必要があります。
私の結論は、Palmer et al。の要約の結論と明らかに矛盾しているので、「実際のバタフライ効果」を示すシステムで有限時間の予測可能性の障壁につながる可能性のある正確な問題を知りたいと思います。
更新：私の友人によるはるかに簡単な議論：取る$U(T/2)$ （時間間隔に関連付けられた進化演算子 $T/2$ どこ $T > 0$想定される予測可能性の障壁です）。構造上、それは連続的です。$T / 2 < T$。したがって、$U(T/2)^4 = U(2T)$また、継続的です。これにより、元の仮定と矛盾する連続演算子の障壁よりも遠い未来を見ることができます。私たちはそれを結論付けます$T$ 無限またはゼロのいずれかである必要があります。
回答
ウェブサイトへの投稿にはいくつか問題があります。偏微分方程式であるナビエ・ストークス方程式を、議論の対象と思われるいくつかの常微分方程式（ローレンツ方程式？）に渡す方法がわかりません（レゴラソフ教授による質問の定式化も見てください）。残念ながら、私はその論文にアクセスできません。
純粋数学の観点からはすべてが明確であるため、問題は物理モデリングに関係している必要があります。物理的な理由から、数学的な記述の内訳はあるレベルで発生するはずですが、論文を読まないと議論するのは困難です。
これは、初期データへの依存に関する数学的シナリオの簡単な説明です。
Lorenzのものとしてのすべての（自律）ODEシステムは次のように書くことができます$$\frac{dx}{dt} = F(x(t))\tag{1}$$ どこ $x\in M$、 $M$ いくつかある $C^k$ マニホールドと $F$ a $C^k$ 上のベクトル場 $M$ と $k\geq 1$。
これは、ODE理論の標準的な結果です。 $x=x(t|x_0)$ 初期条件での（1）の最大解です。 $x(0)= x_0\in M$、このように開いた間隔で定義されます $I_{x_0}\ni 0$、その後
（1）セット $$D:= \left\{(t,x_0) \in \mathbb{R}\:\left|\: t \in I_{x_0}, x_0 \in M \right.\right\}$$ で開いています $\mathbb{R}\times M$
（2）地図 $$\Phi : D\ni (t,x_0) \mapsto \Phi_t(x_0):= x(t,x_0) \in M$$ 共同で $C^k$ （そして $C^{k+1}$ 変数内 $t$）。
したがって、ソリューションの完全なドメインには、 $C^k$（したがって連続）依存関係は初期データを形成します。特に、いくつかを修正するとき$T$、 地図 $$M_T \ni x \mapsto \Phi_T(x)\:,$$ どこ $M_T = \{x \in M \:|\: (x,T) \in D\}$、は必然的に連続です。
代わりに、適切な偏微分方程式、ナビエ・ストークス方程式を正確に扱っている場合、物事ははるかに繊細であり、非常によく知られています。与えられた初期データ（現在は関数）の存在と一意性の定理を証明するだけでも問題があります。最初の日付からの継続的な依存はさらに問題があります。
レゴラソフ教授の提案に関して、私はいくつか問題があります。
（a）LorenzのODEシステムを参照していますか？マニフォールドの次元が奇数であるため、これは非ハミルトンです。$H$？
（b）代わりに、シンプレクティックでないポアソン構造を使用していますか？
（c）次に、 $L^2(M)$ （どのような尺度ですか？）ポアソン多様体上 $M$、 $$-i\{H, \cdot\} : C^\infty_c(M) \to L^2(M)$$ たとえば、対称です $\mathbb{R}^{2n}$正規直交デカルト座標の自然なユークリッド構造と標準的なシンプレクティック構造を参照しますが、必ずしも本質的に自己隣接しているわけではありません（本質的に、リーマン多様体上の偏微分方程式の自己結合は微妙な問題であり、一般的な結果は楕円型作用素と$-i\{H, \cdot\}$ 一般に楕円ではありません[ポアソン構造のみに恵まれている場合、一般にどのリーマン計量ですか？]）。
（d）最後に、いくつかの自己隣接拡張によって生成された単一の強く連続した群を生成したとしても $-i\{H, \cdot\}$、に関連付けられているODEの初期データからの継続的な依存関係との関係を見ることができません $H$。
これがおそらく欠けているものです。
その予測可能性の限界には、シミュレーションの各タイムステップ中に動作するフィードバックメカニズムの存在が必要でした。フィードバックは、初期条件に対する感度を累積的に増幅し、アルゴリズムの丸めおよび離散化エラーの影響を拡大します。これにより、特定の回数の反復後にシステムが発散します。フィードバックパスが壊れている場合、この効果は見られません。