表示中 $(M \otimes_K N) \otimes_K K_n \cong (M \otimes_K K_n) \otimes_{K_n} (N \otimes_K K_n)$

Question

しましょう $K = \mathbb{C}[[h]]$ 複素数体の形式的べき級数の代数になり、 $K_n = \frac{\mathbb{C}[[h]]}{(h^n)}$。私は次の同型を理解しようとしています：

$(M \otimes_K N) \otimes_K K_n \cong (M \otimes_K K_n) \otimes_{K_n} (N \otimes_K K_n)$

ありがとう！

Answer 1

アサーションはすべての可換環論に当てはまります $B$ 可換環上 $A$ そして $A$-モジュール $M,N$。これは、このチェーンから続きます$B$-モジュール同型： \begin{align} (M\otimes_AB)\otimes_B(N\otimes_AB) &\xrightarrow\sim M\otimes_A(B\otimes_B(N\otimes_AB)\\ &\xrightarrow\sim M\otimes_A(N\otimes_AB)\\ &\xrightarrow\sim(M\otimes_AN)\otimes_AB\\ \end{align}