閉単位区間における凸関数の性質 $[0,1]$。

Question

連続および凸関数を考えます $F(x):[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}$。私は疑問に思っています

1. $F(x)$ で継続的に微分可能です $[0,1]$

2. $F(x)$ の有界変動 $[0,1]$

3. $F(x)$ で絶対連続です $[0,1]$。

この投稿により、2番目のものは正しいです。凸関数の証明は有界変動です。

しかし、残りの2つは私には不思議になりました。Roydenの第6章は、空き間隔がある場合にそれらに答えます。

系17：しましょう $\varphi$ 上の凸関数である $(a,b)$。次に$\varphi$ はリプシッツであるため、閉じた有界サブインターバルごとに絶対連続です。 $[c,d]$ そして $(a,b)$

定理18： $\varphi$ 上の凸関数である $(a,b)$。次に$\varphi$ 可算点数を除いて微分可能です。

定理18によると、それを信じるのは難しいです $F(x)$ で微分可能になります $[0,1]$。しかし、反例は見つかりません。つまり、連続する凸関数$[0,1]$ しかし、微分可能ではありません。

系17はかなり良い結果をもたらしますが、閉区間には当てはまらないようです。私たちが持っているならそれを言うことは可能ですか$F(x)$ オン $[0,1]$ が凸である場合、それは上に凸になります $(-\epsilon, 1+\epsilon)$？そして、系17を使用して、絶対連続であると結論付けることができます。$[0,1]\subset (-\epsilon, 1+\epsilon)$。

ありがとうございました！

Answer 1

与えられた実数 $a<b$、連続および凸関数であることを示しましょう $F(x):[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}$絶対連続です。以来$F$ コンパクトセットの連続関数です $[a,b]$ ある時点で最小値に達します $c\in [a,b]$。の凸面$F$ ことを意味します $F$ 増加していない $[a,c]$ と非減少 $[c,b]$。したがって、次の場合を検討するだけで十分です。$F$ 単調です $[a,b]$。

しましょう $\varepsilon>0$任意の数である。機能以来$F$ で継続しています $a$ そして $b$、 が存在します $0<\delta'<|b-a|$ そのような場合 $x,y\in [a,b]$ そして $|x-a|\le\delta’$、 $|y-b|\le\delta’$ その後 $|F(a)-F(x)|\le\varepsilon/3$ そして $|F(b)-F(y)|\le\varepsilon/3$。の単調性$F$ どんな家族にとっても $(x_n,y_n)$ に含まれる互いに素な開区間の $[a,a+\delta’]\cup [b-\delta’,b]$ 我々は持っています $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le 2\varepsilon/3$。

当然のことながら17 $F$ 絶対に継続している $(a+\delta’, b-\delta’)$、実数が存在するので $\delta\le \delta’$ 有限の家族のために $(x_n,y_n)$ に含まれる互いに素な開区間の $(a+\delta’, b-\delta’)$ 全長の最大で $\delta$ 我々は持っています $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le \varepsilon/3$。

上記は簡単に有限の家族を意味します $(x_n,y_n)$ に含まれる互いに素な開区間の $[a, b]$ 全長の最大で $\delta$ 我々は持っています $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le \varepsilon$。