一次、線形、同次、境界値偏微分方程式に対する解の一意性
均質で線形の一階偏微分方程式を考えてみましょう
$$L u \equiv \left( \sum_{i = 1}^d f^i(x) \frac{\partial}{\partial x^i} + c(x) \right) u(x) = 0$$
いくつかのコンパクトドメインで $\Omega \subset \mathbb{R}^d$。明らかに、このシステムは常に持っています$u = 0$解決策として; 私の質問は、係数のどのような条件ですか$f^i(x)$ そして $c(x)$ ゼロ解が境界条件に従って一意であることを保証するには、十分です。 $u|_{\partial \Omega} = 0$。
一階偏微分方程式の適切性は、通常、特性曲線法によって研究されることを知っていますが、私が理解しているように、偏微分方程式を初期値表面で境界条件が指定される初期値問題として考えるのに通常は役立ちます。そこから進化しました。ここではシステムをディリクレ問題として扱っているので、不均一な問題$Lu = g$、 $u|_{\partial \Omega} = h$一般的に適切な設定ではない可能性があります。しかし、同次問題に対するゼロ解の一意性だけを気にするので、それは問題ありません。
オレイニクとラドケビッチからの部分的な結果が1つあります（https://www.springer.com/gp/book/9781468489675）、これは非負の特性形式を持つ2次線形偏微分方程式を考慮します。上記の式は特殊なケースです（その特性形式はまったくゼロであるため）。次に、この本の定理1.6.2から、ゼロ解は次の場合に一意であると結論付けることができます。$c^* < 0$ に $\Omega \cup \partial \Omega$、 どこ $c^* \equiv c - \sum_{i = 1}^d \partial_i f^i$ 随伴作用素のゼロ微分項です $L^*$ の $L$。しかし、オペレーターが$L$ 私が気にかけているのは本当に一次オペレーターですが、条件は $c^* < 0$ 二次演算子を考慮することから来るので、ゼロ解の一意性には、単なるよりもはるかに一般的な十分条件が必要だと思います $c^* < 0$。
回答
特性曲線法は、これを解決する正しい方法のように見えます。満足する道に沿って${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$、1つが見つかります $u(\vec{x}(t))$ に従って進化します ${\rm d}u/{\rm d}t = -c u$。パスがで終了する場合$\partial\Omega$、その後 $u(x) = 0$パス全体に沿って。これは、ゼロ以外の解が存在するための最初の必要条件につながります。
（1） $\exists$ 道 $\vec{x}(t)$ 満足 ${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$ 起点と終点（制限は $t \rightarrow \pm\infty$）の内部 $\Omega$。
継続的に $u(\vec{x})$、の値 $u(\vec{x}(t))$ 発散できない場合 $t \rightarrow \pm\infty$。メジャーゼロのセットを除いて、すべてのパス$\vec{x}(t)$リパルサーで開始し、アトラクターで終了します（たとえば、鞍点ではありません）。したがって、ゼロ以外の解が存在するために必要な2つの条件は次のとおりです。
（2） $c < 0$ で $\vec{x}(-\infty)$
（3） $c > 0$ で $\vec{x}(+\infty)$
メジャーゼロのセットを除いて、これらの不等式は厳密であると想定できます。 $c < 0$ そして $c > 0$、それぞれ（収束は可能です $c = 0$ただし、派生条件によっては保証されません）。厳密な不等式があるため、条件（1〜3）はゼロ以外の解にも十分です。$u(\vec{x})$存在する。それは次のように見ることができます：
ポイントから始める $\vec{x}_0$ パスに沿って $\vec{x}(t)$、サイズを定義します-$\epsilon$ 断面（の流線に直交する ${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$）そしてそれを仮定する $u(\vec{x})$ からスムーズに変化します $u(x_0) = 1$ に $u = 0$断面の境界で。の値$u(\vec{x})$ この断面の「過去」と「未来」に沿って、を使用して特性に沿って伝搬することによって得られます ${\rm d}u/{\rm d}t = -c u$。これらの特性はすべて、同じリパルサーに由来します（$u = 0$）そして同じアトラクタで終了します（ここでも $u = 0$）。残りを記入してください$\Omega$ ヌルソリューションを使用 $u = 0$。したがって、偏微分方程式の非ゼロの連続値解を構築しました。
必要十分条件が一致しない特異なエッジケースがたくさんあります。 $\lVert f \rVert = u = 0$ 同じ時点で（再スケーリングによって修正可能） $f$ そして $u$）、もし $\lVert f\rVert = 0$ のオープンサブセット上 $\Omega$、もし $\lVert f\rVert = 0$ 境界に $\partial\Omega$、もし $c = 0$ で $\vec{x}(\pm\infty)$。可能な機能の空間で$(\vec{f}, u)$、これらの特異なケースは、メジャーゼロのセットでのみ発生するため、あまり興味深いものではありません。ほとんどどこでも、条件（1-3）であり、両方の必要十分。
別の言い方をすれば、次の場合、ゼロ解は一意であると（ほとんどどこでも）言うことができます。
$\forall$ パス $\vec{x}(t)$ 満足 ${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$ の内部に起点と終点があります $\Omega$、
$c > 0$ で $\vec{x}(-\infty)$ または $c < 0$ で $\vec{x}(+\infty)$。
あなたの状態に戻る $c^* < 0$： ご了承ください $\partial_i f^i < 0$アトラクタで（これは、ノード、リミットサイクル、トロイド、カオスアトラクタなどであるかどうかに関係なく、常に当てはまります）。したがって、$c^* < 0$ オン $\Omega$、それはそれに続く $c = c^* + \partial_i f^i < 0$すべてのアトラクタで。したがって、上記の2番目の条件は、次の場合に常に満たされます。$c^* < 0$。上記の条件は、一意性のためのより一般的な十分（および必要）条件です（上記の警告があります）。
ので、任意の力学系は、で表すことができます。${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$ 動的システムは本当に、本当に複雑になる可能性があり、一般的な条件は扱いにくい場合があるため、次のようなより具体的な条件 $c^* < 0$ もっと便利かもしれません。
また、の値を定義する $c$アトラクタ/リパルサがポイントでない場合は注意が必要です。リミットサイクルを超える平均を取ることは簡単で、カオスアトラクタはそれほど簡単ではありません（エルゴード理論）。