異常な変形収縮の連続性

Aug 19 2020

位相空間の可算鎖が与えられたとしましょう $X_0 \subset X_1 \subset X_2 \subset \cdots$ そしてしましょう $X = \bigcup_n X_n$; さらに、それぞれについて$n$ 変形収縮があります $F_n : X_{n+1} \times I \to X_n$。から変形リトラクトを構築したい$X$$X_0$ 実行することによって $F_n$ 時間間隔で $[1/2^{n+1}, 1/2^n]$、の各ポイントを保持します $X_{n+1} - X_n$ この間隔の外では静止しています。

このマップが連続していることを示すのに問題があります。継続性を得ることができます$X \times (0,1]$ 貼り付けの補題から簡単ですが、これをすべてに拡大する方法がわかりません $X \times I$、間隔の開始時の関数の奇妙な動作が原因です。

編集:マップが一般的に連続していないことを学んだので、 $X$ CW複体であり、 $X_n$は関連するスケルトンです。

回答

2 LeeMosher Aug 19 2020 at 03:46

それは一般的には真実ではないので、証明に必要な追加の仮説を理解する必要があり、あなたが考えているどのアプリケーションでも真実です。

簡単な反例として、 $$X = S^1 = \{(\cos(2 \pi \theta),\sin(2 \pi \theta) \mid \theta \in (0,1]\} \subset \mathbb R^2 $$部分空間トポロジーで。そして、$$X_n = \{(\cos(2 \pi \theta), \sin(2 \pi \theta) \mid \theta \in (1/n,1] \} \subset X $$部分空間トポロジーでも。各$X_n$ 変形はに後退します $(1,0)$、 だが $S^1$ 変形しないで収縮します $(1,0)$


私はそれが一般的に機能する1つの興味深くそして広い状況を捨てます、すなわちどこで $X$CW複体です。CWトポロジを使用して、$X \times [0,1]$ 存在します。