いくつかの二項演算の前の記号の概念的な説明
いくつかの状況で、段階的モジュールでの二項演算が与えられているのを見てきました $m:A\otimes A\to A$、新しい操作 $M(x,y)=(-1)^{|x|}m(x,y)$ いくつかの特性を満たすように定義されています。
この一例は、ホモトピーG代数とモジュライ空間で発生します。ここで、二項演算の場合$m\in\mathcal{O}(2)$ そのような $m\circ m=0$ いくつかのオペラドのために $\mathcal{O}$、結合法則はによって定義されます $xy=(-1)^{|x|+1}m\{x,y\}$、ここで、中括弧表記は上の中括弧代数構造を表します $\mathcal{O}$。この場合、私が推測できた説明は、これは中括弧の関係（論文の式（2））が積の結合性を意味するために必要であるということです$xy$。この場合、サイン$(-1)^{|x|}$ この目的でも機能します。
この状況の別のより直接的なインスタンスは、で発生カルタンホモトピー式および環式の相同性におけるガウス・マニアン接続、所与AN$A_\infty$-代数 $m_i=0$ ために $i>2$、もう一度定義することで次数付き微分代数を取得します $xy=(-1)^{|x|}m_2(x,y)$。この場合、これは、作成者が次の規則を使用しているためです。$A_\infty$-方程式にプラス記号しかない代数。したがって、結合関係とライプニッツの法則を生成するには、追加の記号が必要です。したがって、ここにはブレース代数がないため、構造が単純ですが、理由は前のケースと非常に似ています。
そして、私が参照していない別の追加の例は、リー代数の場合です。次数付きリー環のオペラドのジェネレーターを定義するとき、多くの場合、$l(x,y)=(-1)^{|x|}[x,y]$ 直接定義する代わりに $l$ブラケットとして。私が正しく覚えていれば、これは純粋に操作上の用語でヤコビ恒等式を取得するために必要でした。
したがって、いくつかの関係を維持するためにその記号を追加することは非常に一般的であるように見えます。これが体系的に成り立つ理由について、より概念的な説明があるかどうかを知りたいのですが。方程式を書き留めるときに機能するだけかもしれませんが、もっと一般的な直感を探しています。
私の動機は、この考えをより高いアリティの地図に一般化することです。より正確には、$A_\infty$-乗算 $m\in\mathcal{O}$ そのような $m\circ m=0$、定義したい $A_\infty$-構造 $M$ オン $\mathcal{O}$ 符号の規約を満たす
$$\sum_{n=r+s+t}(-1)^{rs+t}M_{r+1+t}(1^{\otimes r}\otimes M_s\otimes 1^{\otimes t})=0.$$
（別の可能な規則もあります。 $rs+t$ に置き換えられます $r+st$）
したがって、これはゲッツラーの論文と非常によく似ています。 $M_j(x_1,\dots, x_j)=m\{x_1,\dots x_j\}$、およびこの構造マップは関係を満たします $M\circ M=0$しかし、すべてプラス記号が付いています。したがって、連想の場合と同様の方法で、いくつかの記号によってこれらのマップを変更する必要があります。もちろん、私は座って方程式を書き、兆候に必要な条件を見つけ、おそらくパターンを見つけることを試みることができます。しかし、連想の場合とリー代数の概念的な説明がある場合は、必要な兆候が何であるかを見つけるためのより簡単な方法があるかもしれません。
回答
私はこの質問が非常に興味深いと思います（明白な理由なしにさまざまな異なる代数的構造に現れる符号因子に関連する同様の質問が、過去かなり長い間私の研究を経てきたという意味で）。
私はあなたの例のほとんどにあまり精通していませんが、あなたは結合代数とリー代数にも言及しているので、次数付き代数からの同様の「現象」を参照します：これは $\mathbb{Z}_2$-2つの結合超代数の間の段階的テンソル積（$\mathbb{Z}_2$-次数付き代数） $A$ そして $B$。場合$b$、 $c$ の均質な要素です $B$ そして $A$それぞれ、いわゆるスーパーテンソル積代数または$\mathbb{Z}_2$-超代数の段階的テンソル積代数は、超代数です$A\underline{\otimes} B$、その乗算はによって与えられます $$ (a \otimes b)(c \otimes d) = (-1)^{|b| \cdot |c|}ac \otimes bd $$ と $|b|, |c|\in\mathbb{Z}_2$。ここで、符号係数は、群ホップ代数の表現のモノイド圏の編組を反映しています。$\mathbb{CZ}_2$：超代数は、ブレイドモノイダルカテゴリーの代数と見なすこともできます。 ${}_{\mathbb{CZ}_{2}}\mathcal{M}$ （すなわち、のカテゴリ $\mathbb{CZ}_{2}$-モジュール）そして上記の乗算は抽象的に次のように書くことができます： $$ m_{A\underline{\otimes} B}=(m_{A} \otimes m_{B})(Id \otimes \psi_{B,A} \otimes Id): A \otimes B \otimes A \otimes B \longrightarrow A \otimes B $$ここで、編組は自然な同型のファミリーによって与えられます$\psi_{V,W}: V\otimes W \cong W\otimes V$ 明示的に書かれた： $$ \psi_{V,W}(v\otimes w)=(-1)^{|v| \cdot |w|} w \otimes v $$ どこ $V$、 $W$ 任意の2つです $\mathbb{CZ}_2$モジュール。
さらに、この編組は、群ホップ代数の自明でない準三角構造によって引き起こされます。$\mathbb{CZ}_{2}$、によって与えられる $R$-行列：\ begin {equation} R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} = \ sum R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} ^ {（1）} \ otimes R _ {\ mathbb {Z} _ {2}} ^ {（2）} = \ frac {1} {2}（1 \ otimes 1 + 1 \ otimes g + g \ otimes 1-g \ otimes g）\ end {equation}の関係：$\psi_{V,W}(v \otimes w) = \sum (R_{\mathbb{Z}_{2}}^{(2)} \cdot w) \otimes (R_{\mathbb{Z}_{2}}^{(1)} \cdot v)=(-1)^{|v| \cdot |w|} w \otimes v$。
さらに別の観点から、上記の$R$-行列は、の対応する2文字（または：転流係数）によって「生成」されたと見なすことができます。$\mathbb{Z}_2$グループ。
間に全単射があります$R$-assocまたはLie編組（「色付き」は別の名前）、段階的代数のいずれかの編組、段階的設定での行列、編組、およびバイキャラクター（ここでは実際には転流係数です）。
これらはすべて、次数付き代数、次数付き環、および次数付き環に一般化できます。 $R$-有限のアーベル群の行列、または対応する群のバイキャラクター。またのために$\mathbb{G}$-段階的、 $\theta$-より複雑なバイキャラクターを生成するための色付きの超リー代数 $\theta:\mathbb{G}\times\mathbb{G}\to k$ （上記の例では、 $\mathbb{G}=\mathbb{Z}_2$ 正確にの符号係数です $\mathbb{Z}_2$ アーベル群）。
結論として、ここでの符号要因は、対応するグループのバイキャラクターの「暗黙の」外観です。また、対応するカテゴリの表現の編組として、または$R$-対応する準三角形群ホップ代数（フィン、アーベル、グレーディンググループの）の行列。
これらの例に興味があり、質問に関連していると思われる場合は、この回答の説明も参照してください。 https://mathoverflow.net/a/261466/85967 そしてその中の私のリンクされた論文。
Gabriel C. Drummond-Coがコメントしたように、それは暗黙の停止と関係があります。GerstenhaberとVoronovの例でそれを行い、他の人も同様に従う必要があります。を示しましょう$M_2(x,y)=x\cdot y$ ブレースに基づいて定義したい製品 $m\{x,y\}$。それを地図として定義すると$(s\mathcal{O})^{\otimes 2}\to s\mathcal{O}$ （次数付きベクトル空間としてのサスペンション）、自然なことはブレースを使用することです $m\{-,-\}:\mathcal{O}^{\otimes 2}\to \mathcal{O}$、しかしそうするためには、サスペンションとデスサスペンションで作曲する必要があります。つまり、$M_2(x,y)=s(m\{(s^{-1}x,s^{-1}y)\})$。そしてそれは適用されています$(s^{-1})^{\otimes 2}(x,y)$ 何がサインを作るのか $(-1)^{|x|}$現れる。使用する場合$(s^{\otimes 2})^{-1}$ 代わりに、元のサインを取得します $(-1)^{|x|+1}$。