一定の前層の束化

Question

私は束縛について読んでいますが、それは私には抽象的すぎます。私は一定の前層の束化の例を考え出そうとしています、そして私の顧問は私にこの例を与えます：$X$ 位相空間であり、 $A$アーベル群になります。しましょう$\mathfrak{A}^+$ 連続関数の前層である、すなわち $$\mathfrak{A}^+(U)=\{\alpha : U → A \text{ continuous}\}$$ どこ $A$ オープンセットごとに個別のトポロジがあります $U$。彼が私に見せてほしいものは3つあります。

（1） $\mathfrak{A}^+$ アーベル群の束です。

（2）すべての茎 $\mathfrak{A}^+_x=A$。

（3）自然地図 $f : \mathfrak{A} → \mathfrak{A}^+$ 定数層から茎に同型を誘発する

（1）関数が $0$ もしそうなら $0$ローカルで。（2）と（3）は情報が少ないので簡単だと思いますが、不思議なことに使い方がわかりません。

（2）で、私は地図を知っています $\mathfrak{A}^+(U)\to \mathfrak{A}^+(V)$ いつ $V\subseteq U$ただの制限です。定義上、茎$\mathfrak{A}^+_x=\varinjlim_{x\in U} \mathfrak{A}^+(U)$。しかし、定義（連続関数のグループ）をどのように変換しますか$A$？のオープンセットの構造すら知らないので、ここでは情報が不足しているようにさえ感じます$X$、そして私は直接限界からへの自然な地図を見ません $A$。

（3）私にとってはさらに曖昧です。いう$U$開いています。どのようにして要素を自然にマッピングしますか$A=\mathfrak{A}$、関数へ $U\to A$ に $\mathfrak{A}^+$？マップが図を満たしていることを知っているので、$f_U(a)|_V=f_V(a)$ どこ $V\subseteq U$オープンセットです。（2）によると、両方の茎は$A$、しかし、誘導されたマップがIDになるとは思わないので、これがISOである理由を理解するのが難しくなりますか？

私は代数幾何学の初心者なので、これらの質問は明白かもしれません。ありがとうございました。

Answer 1

（1）はるかに一般的（したがってはるかに簡単です！）：
任意の位相空間が与えられます$Y$ 束があります $\mathcal C_Y$ オン $X$ オープンサブセットの要件によって特徴付けられる $U\subset X$ 我々は持っています $\mathcal C_Y(U)=\mathcal C(U,Y)$、連続関数のセット $U\to Y$。
君の$ \mathfrak A^+$ まさに束です $\mathcal C_A$、 どこ $A$ 離散トポロジーに恵まれています。

（2）アーベル群の射があります $i:\mathcal C_{A,x}\to A$ 次のように定義されます：細菌が与えられた $\gamma\in \mathcal C_{A,x}$ いくつかの連続関数で表します $g:U\to A$ そして私達は定義します $i(\gamma)=g(x)$。
この射は、群準同型を明示的に逆にするため、同型です。$j:A\to \mathcal C_{A,x}$ 送信 $a\in A$ に $j(a)= \operatorname [{const}(a)]_x$、での細菌 $x$ 定数関数の $\operatorname {const}(a): X\to A$ の任意のポイントを送信します $X$ に $a$。

（3）任意の近隣 $U\subset X$ の $x$ 地図 $\mathfrak A(U)=A \to \mathcal C_A(U): a\mapsto \operatorname {const}(a)$ 明らかに単射であるため、マップを直接制限します $f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$単射でもあります。
全射も簡単です：（b）細菌の表記法で$\gamma=[g]_x\in \mathcal C_{A,x}$ 下の画像です $f$ 細菌の $[\operatorname {const}(g(x))]_x\in \mathfrak A_x$。
そして、私たちはその形態が$f: \mathfrak A_x\to \mathcal C_{A,x}$ 確かに全単射です。