上限の定義
実解析の学部のテキストで行った観察に戸惑っています。上界と下限の概念は、主題に新鮮な学生にとって特に理解しやすいものではなく、セットの最大値と最小値（存在しない可能性があるという事実を含む）を理解するのは確かにはるかに簡単です。上限の。次のような間隔を指摘するだけです。$[0,2]$ そして $[0,2)$ 数2と数3について話します。では、セットの最小上限を定義してみませんか。 $S$ （順序体で）のすべての上限のセットの最小値（存在する場合）として $S$？
私は実解析のために多くの学部のテキストを調べましたが、この単純な定義、または「最小」という言葉が言及されていることすら見つかりませんでした。それらのほとんどは、はるかに難しい方法を使用してそれを定義します。「それは上限であり、それよりも厳密に小さい数については、いくつかなどがあります」。いくつかは言うでしょう：それは上限です$M$ そのような場合 $x$ は上界であり、 $M\leq x$。繰り返しになりますが、「これはすべての上限のセットの最小値です」と言ってみませんか？「それは最小の上限です」と言う人もいますが、これでも最小から最小への言語の変更であり、いずれの場合も、概念の名前として「最小の上限」を使用し、それを定義します複雑な方法を使用します。
これを議論のトピックとして投稿するつもりはありません。上限をそのように定義することがなぜ良い考えであるかを説明する重要な何かが欠けているかどうかについての真の質問としてのみです。
回答
それが「最小の上限」であると言うことと、それが「すべての上限のセットの最小である」と言うこととの間に違いはないと思います。
しましょう $S$ セットになってみましょう $M$すべての上限のセットになります。次に、2つのケースが考えられます。$\exists \max S$ または $\nexists \max S$：
$\exists \max S$：
場合 $\exists \max S$、これはつまり $\forall s \in S, s \leq \max S$、したがって、これは $\max S \in M$。
さて、それを仮定しましょう $\max S$ の最小値ではありません $M$。この意味は：$\exists m \in M: m < \max S$。次に、$\forall x \in S, x \leq m$、なぜなら $m$も上限です。だが$\max S \in S$、だからこのメナスは $\max S \leq m$。の定義プロパティ$m$ だった： $m \in M: m < \max S$。したがって、これは矛盾です。この意味は$\max S$ 確かに最小です $M$ したがって $\sup S = \min M = \max S$。
$\nexists \max S$：
今、それを仮定しましょう $\nexists \max S$。しましょう$M$ すべての上限のセットになります。
それを仮定しましょう $\nexists \min M$。この意味は$\nexists m \in M: \forall x \in M, m \leq x$。これは、$a_1 \in M$、その後 $\forall s \in S$： $s \leq a_1$。しかし理由は$a_1$ 最小ではありません $\exists a_2 \in M: s \leq a_2 \leq a_1$。つまり、私たちが望むように任意に近づくことができます$s$。次に、これはシーケンスを見つけることができることを意味します$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ そのような $\lim _n a_n = s$。
さあ、 $s_1, s_2 \in S$ そのような $s_1 < s_2$。次に、シーケンスを見つけることができます$(a_i)_{i \in \mathbb N} \in M$ そのような $\lim _n a_n = s_1$。しかし、私たちは恣意的に近づくことができるので$s_1$、 この意味は $\exists k \in \Bbb N:$ もし $n \geq k$ その後 $s_1 < a_n < s_2$。これは矛盾です。$a_n \in M$は上限です。この意味は$\exists \min M$。
だから、 $\sup S = \min M$ たとえ $\nexists \max S$。
だから、すべてのセットのために $S$、 $\sup S = \min M$。あなたはそれを示すために同様の議論をすることができます$\inf S = \max M$