ジョイントシステムの量子力学における密度演算子の理解

Question

システムAとベースで構成される共同システムで作業していると考えてください $|\alpha_j\rangle$ およびシステムB $|\beta_j\rangle$、テンソル積基底に関するジョイントシステムの一般的な密度行列を記述できます。 $|\alpha_j\rangle |\beta_j\rangle$。

それでは、密度演算子が次のように記述できることをどのように推測できるかを理解したいと思います。

$$\rho = \sum_{j,k,l,m} \langle\alpha_j| \langle\beta_k |\rho |\alpha_l\rangle |\beta_m\rangle |\alpha_j\rangle |\beta_k\rangle \langle\alpha_l| \langle \beta_m|$$

これについての私の理解を容易にするための助けをいただければ幸いです。

Answer 1

場合 $\big\{|\alpha_j\rangle\big\}$ ヒルベルト空間の基礎です $\mathcal H_A$ そして $\big\{|\beta_k\rangle\big\}$ の基礎です $\mathcal H_B$、その後 $\big\{|\alpha_j,\beta_k\rangle \big\}$ の基礎です $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$、複合システムの自然なヒルベルト空間。表記を軽くするために、私は定義しています$|\alpha_j,\beta_k\rangle \equiv |\alpha_j\rangle \otimes |\beta_k \rangle$。

そこから、上の恒等演算子 $\mathcal H_A \otimes \mathcal H_B$ 書くことができます $$\mathbf 1 = \sum_{j,k} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle\alpha_j,\beta_k|$$

したがって、任意の演算子 $T$ 書くことができます

$$T = \mathbf 1 \cdot T \cdot \mathbf 1 = \bigg(\sum_{j,k} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle\alpha_j,\beta_k|\bigg) T \bigg(\sum_{\ell,m} |\alpha_\ell,\beta_m\rangle\langle \alpha_\ell,\beta_m|\bigg)$$ $$ = \sum_{j,k,\ell,m}T_{jk\ell m} |\alpha_j,\beta_k\rangle\langle \alpha_\ell,\beta_m|$$

どこ $$T_{jk\ell m} \equiv \langle \alpha_j,\beta_k| T | \alpha_\ell,\beta_m\rangle$$

Answer 2

簡単な答え：方程式の両辺を任意のケット基底ベクトルに適用すると、物事が大幅に単純化されます。

その方程式の真実は、それがジョイントシステムであるという事実、またはそれが密度演算子であるという事実とは何の関係もありません。これは、すべての演算子、および正規直交基底に当てはまります。

方程式の両辺を基底ベクトルに適用した後、続行する1つの方法は、2つの項を反転し、同一性の解決を使用することです。