順列群積

Question

しましょう $E,F$ 2つのベクトル空間であり、 $\varphi: \overbrace{E\times \cdots \times E}^{\text{$p$ times}} \to F$ a $p$-線形マップ。場合$\sigma$ の順列です $S_{p}$、次に別の定義ができます $p$-線形マップ $\sigma \varphi: \overbrace{E\times \cdots \times E}^{\text{$p$ times}}\to F$ 沿って： $$(\sigma \varphi)(x_{1},...,x_{p}) := \varphi(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})$$

さて、私の本は $\tau, \sigma$ 2つの順列である場合： $$(\tau \sigma)\varphi = \tau(\sigma \varphi)$$ しかし、私の計算によると： $$[(\tau \sigma)\varphi](x_{1},...,x_{p}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$$ 以来 $[\sigma(\tau\varphi)](x_{1},...,x_{p}) = (\tau\varphi)(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))})$。私の間違いはどこにありますか？

Answer 1

あなたが書くときに間違いがあります

$$[(\tau \sigma)\varphi](x_{1},...,x_{p}) = \varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$$

あなたが持っている

$$\begin{aligned}(\tau \sigma)\varphi(x_{1},...,x_{p}) &= \varphi(x_{(\tau\sigma)(1)},...,x_{(\tau\sigma)(p))})\\ &= \varphi(x_{(\tau\circ \sigma)(1)},...,x_{(\tau\circ \sigma)(p))})\\ &= \varphi(x_{(\tau(\sigma(1))},...,x_{(\tau(\sigma(p))})\\ &= \tau(\varphi(x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(p)})\\ &= \tau(\sigma\varphi(x_1,...,x_p)\\ \end{aligned}$$

したがって、あなたの本の平等 $$(\tau \sigma)\varphi = \tau(\sigma \varphi)$$

Answer 2

一般的に、それは真実ではありません $\varphi(x_{\tau(\sigma(1))},...,x_{\tau(\sigma(p))}) = [\sigma(\tau \varphi)](x_{1},...,x_{p})$ -これは次の場合にのみ適用されます $\tau$ そして $\sigma$ 通勤 $S_p$。例を挙げる$p=3$、 $\tau = (1\ 3), \sigma = (1\ 2\ 3)$。次に$$\sigma\tau \phi = (1\ 2\ 3)(1\ 3)\phi = \phi(x_1,x_3,x_2) $$ $$\tau\sigma \phi = (1\ 3)(1\ 2\ 3)\phi = \phi(x_2, x_1, x_3)$$

本当のことは、評価するときです $\sigma\tau\phi$ （たとえば）、最初に適用できます $\tau$ に $\phi$ そして最後に適用します $\sigma$、または最初に適用できます $\sigma$ に $\tau$ 次に、この組み合わせた順列を適用します（$\sigma\tau$）から $\phi$。