カードのデッキからスペードまたはエースを選択する確率

Question

与えられた確率を見つける $i$ のデッキからのカード $52$、 $j$ それらのスペードと $k$ それらのエースは、 $1\leq i\leq 52, \max\{i-39,0\}\leq j\leq \min\{i, 13\},$ そして $\max\{i-48, 0\}\leq k\leq \min\{i, 4\}.$

一般的なケースでは、明らかに選択する方法の数 $i$ カードは ${52\choose i}$。定義する$P(A_1)$ その確率になる $j$ スペードが選ばれ、 $P(A_2)$ その確率 $k$エースが選ばれます。計算します$P(A_1),$ スペードを選択し、次に非スペードを選択します。 $P(A_2)$。計算します$P(A_1\cap A_2),$スペードのエースがある場合、またはスペードのエースがない場合の可能性の数を考慮します。次に$P(A_1) = \dfrac{{13\choose j}{39\choose i-j}}{{52\choose i}}, P(A_2) = \dfrac{{4\choose k}{48\choose i-k}}{{52\choose i}}, P(A_1\cap A_2) = \dfrac{{1\choose 1}{3\choose k-1}{12\choose j-1}{36\choose i-j-k+1} + {3\choose k}{12\choose j}{36\choose i-j-k}}{{52\choose i}}$、 どこ ${a\choose b} = 0$ もし $b < 0$ または $b > a$簡単にするために。したがって、望ましい確率は結果です$P(A_1) + P(A_2)-P(A_1\cap A_2).$

これは正しいです？

Answer 1

はい。あなたの推論とカウントは正しいです。

$$\begin{align} \mathsf P(\spadesuit_j)&=\left.\tbinom {13}{j}\tbinom{39}{i-j}\middle/\tbinom{52}i\right. \\[1ex]\mathsf P(A_k)&=\left.\tbinom{4}{k}\tbinom{48}{i-k}\middle/\tbinom{52}i\right. \\[1ex]\mathsf P(A_k\cap\spadesuit_j)&=\left.\left[\tbinom 11\tbinom 3{k-1}\tbinom {12}{j-1}\tbinom{36}{i-j-k+1}+\tbinom10\tbinom 3k\tbinom{12}j\tbinom{36}{i-j-k}\right]\middle/\tbinom{52}i\right. \\[1ex]\mathsf P(A_k\cup\spadesuit_j)&=\mathsf P(\spadesuit_j)+\mathsf P(A_k)-\mathsf P(A_k\cap\spadesuit_j) \end{align}$$