解決する $x$、 $(\sqrt{a+ \sqrt{a^2-1}})^x+(\sqrt{a- \sqrt{a^2-1}})^x=2a$

Question

の値を見つける $x$ いつ $$(\sqrt{a+ \sqrt{a^2-1}})^x+(\sqrt{a- \sqrt{a^2-1}})^x=2a.$$ほら、ヒットとトライアルの方法で、それは明らかです $x=2$解決策です。しかし、私はこれを明示的に解決して解決策を得ることができませんでした。
私の試み：\begin{align*} &(\sqrt{a+ \sqrt{a^2-1}})^x+(\sqrt{a- \sqrt{a^2-1}})^x=2a \\ \implies \> & (a+ \sqrt{a^2-1})^{x/2}+(a- \sqrt{a^2-1})^{x/2}=2a\\ \implies \>& (a+ \sqrt{a^2-1})^x+(a- \sqrt{a^2-1})^x+2(a+ \sqrt{a^2-1})^{x/2}(a- \sqrt{a^2-1})^{x/2} = 4a^2.\end{align*}この後どうすればいいのかわからない。また、共役を上下に掛けてみましたが失敗しました。これを解決するのを手伝ってください。前もって感謝します。

Answer 1

置く $u=(\sqrt{a+ \sqrt{a^2-1}})^x$

次に活用し、$\frac{1}{u}$=$(\sqrt{a- \sqrt{a^2-1}})^x$ または私たちは解決する必要があります

$u+\frac{1}{u}=2a$ これは簡単に解決できます。

Answer 2

ヒント：しましょう$y=a+\sqrt{a^2-1}$。あなたが解かなければならない方程式は同等です$$y^{x/2} + \frac{1}{y^{x/2}} = y +\frac{1}{y}$$