回路内の隣接していないキュービットに対してCNOT演算を数学的に記述する良い方法はありますか？[複製]

Question

私たちは通常単一量子ビット演算を提示するので、CNOT行列を提示する方法があるかどうか疑問に思いました

$$... 1 \otimes NOT \otimes 1 ...$$

回路内の隣接するキュービットについては、同じように提示できることを私は知っています

$$... 1 \otimes CNOT \otimes 1 ...$$

しかし、隣接していないワイヤに作用するCNOTが複数ある場合、操作を数学的に表す方法はありますか？

Answer 1

抽象回路表現のみを参照している場合は、CNOTに参加しているすべてのキュービットがラベルに従って「隣接」するように、基底を並べ替えることができます。たとえば、基礎が次のように注文された場合$1,2,3$、キュービット1と3の間でCNOTを実行したい場合は、次のように記述します。

$$ CNOT_{1,3} \otimes I_2 $$

基礎が今注文されている場所 $1,3,2$。ただし、ベーシスを並べ替えたくない場合は、CNOTを作成する別の方法もあります。

$$ |0\rangle\langle0|\otimes I + |1\rangle\langle1|\otimes X $$

これには、次のような2番目のキュービットの状態に関するIDが含まれる可能性があります。

$$ (|0\rangle\langle0|)_1 \otimes I_2 \otimes I_3 + (|1\rangle\langle1|)_1 \otimes I_2 \otimes X_3 $$

これはもはや単なるユニタリーの産物ではなく、CNOTの行動がオペレーションの産物に織り込まれてはならないために予想されます。

Answer 2

個人的に、私は自分自身にいくつかの表記法を定義するだけです。たとえば、あなたが書き留めたNOTの代わりに、私は定義します$X_n$ することが $$ X_n=1^{\otimes(n-1)}\otimes X\otimes 1^{\otimes(N-n)}. $$ 同様に、私はそれから定義するかもしれません $CNOT^i_j$ 制御される-制御されない $i$ とターゲティング $j$。テンソル積として書き出す必要がある場合は、おそらく次のようなことをします。$$ 1^{\otimes N}+1^{\otimes (i-1)}\otimes |1\rangle\langle 1|\otimes 1^{\otimes(j-i-1)}\otimes(X-1)\otimes 1^{\otimes(N-j)} $$ 仮定 $j>i$。