確率計算に疑問があります。
XとYは2人のチェスプレーヤーです。
- XがYに対して特定のゲームに勝つ確率は $1/3$ Yがゲームに勝つ確率は $2/3$。
- 彼らは一連のゲームをプレイします。ルールでは、Xが2つの連続したゲームに勝ち、Xがシリーズに勝ち、Yがシリーズに勝ちます。 $4$ 連続ゲーム。
- 彼らはゲームを開始し、そのうちの1人がシリーズに勝つまでプレイします。
これらのルールに従って、Yがシリーズに勝つ確率はどれくらいですか？
を考慮して確率を計算しました $4/5/6$ ゲームを個別に合計しましたが、合計できるようにパターンを見つけることができませんでした $n$ ゲームの数と傾向 $n$ 無限に$\ldots$ それはそのような問題における私の基本的なアプローチですが、ここではできませんでした$\ldots$
回答
非終端状態は $w\in\{\emptyset, X, Y, YY, YYY\}$、ここで名前 $w$最後の関連する勝利を表します。これらの状態のそれぞれについて$w$ 確率があります $p_w$ それ $Y$シリーズに勝ちます。これらの確率について、次の方程式があります。$$\eqalign{p_{\emptyset}&={2\over3}p_{Y}+{1\over3}p_{X}\cr p_{Y}&={2\over3}p_{YY}+{1\over3}p_{X}\cr p_{YY}&={2\over3}p_{YYY}+{1\over3}p_{X}\cr p_{YYY}&={2\over3}+{1\over3}p_{X}\cr p_{X}&={2\over3}p_{Y}\cr}$$ 例：私たちが状態にあるとき $YY$、プレーヤー $Y$確率でシリーズに勝つ$p_{YY}$。次のゲームで$Y$ 確率で勝つ ${2\over3}$ そして私達は状態にあります $YYY$、および $Y$ 確率で負ける ${1\over3}$、そして私たちは状態にあります $X$。このようにして、方程式を取得します$p_{YY}={2\over3}p_{YYY}+{1\over3}p_{X}$。
このシステムを解くと、初期確率が得られます $$p_{\emptyset}={64\over129}\ .$$