加熱法（Crane et Al）どのようにuを選ぶのですか？
熱法は、距離計算にとって非常に興味深い論文です。
https://www.cs.cmu.edu/~kmcrane/Projects/HeatMethod/paperCACM.pdf
紙の背後にある考え方は、熱は本質的に測地線のような方法でオブジェクトの表面に沿って移動するということです。したがって、熱がホットスポットから表面上の任意のポイントに移動するのにかかる時間は、測地線距離とは相容れない相関関係があります。
このホワイトペーパーでは、最初に一般的な分析ケースを検討し、次に離散化アプローチを提案します。私が非常に混乱しているのは、熱流関数についての言及です$u$紙全体。たとえば、次の方程式を考えてみましょう。
これは、に適用される離散ラプラシアン演算子です。 $u$ または $\Delta u$。この論文には、他にも複数のセクションがあります。$u$。私の読書から、$u$ 多様体の表面の熱流を近似する適切な関数のようですか？
私は実際には形の方程式を見ていません $u = \text{expression}$ また、そのプロパティの説明や良い提案も表示されません $u$関数。とは$u$？何処にやった$u$から来る？何処にやった$u$行く？何処にやった$u$から来る？コタン、私、o？
回答
私の読書から、uは多様体の表面の熱流を近似する適切な関数のようです？
$u$は、特定のフィールドで数量がどのように動作/進化するかを説明する関数です。論文では、量は温度または熱流束だと思います。ただし、ほとんどの場合、分析ソリューション/式はありません。$u$。ここで、有限要素（FEM）のような方法が役立ちます。フィールドを離散化することにより、関数を区分的に近似できます$u$。
あなたの場合、あなたはあなたのメッシュを使うでしょう、それはすでにあなたの表面の離散化です。要素は三角形であり、各三角形の内部で節点量がどのように補間されるかを定義する必要があります。---ここでは、線形補間がおそらく進むべき道です。それ以外の場合は、ジオメトリを再メッシュするか、高次の近似のために追加のノードを導入する必要があります。
次に、各ノード/頂点に初期値を割り当てる必要があります $u_0$gilgamecの答えに書かれているように。その後、有限要素システムを構築して解き、の節点分布を取得します。$u$それは実際にあなたの方程式または連立方程式を解きます。メッシュが細かくなるほど、ソリューションは向上します。高次の補間も精度に役立ちます。
そう $u$または、lightxbulbがコメントで述べたように、その節点値は実際に探しているものです。それはあなたの未知の量です。
これで問題が解決しない場合は、有限要素法に関するいくつかの文献を読むことをお勧めします。次のリンクがどれほど役立つかはわかりませんが、一瞥するだけで有望に見えました。あなたは彼らが使用していることがわかります$u$あらゆる所に。だから私はそれらの1つがあなたを助けることを願っています：
- 有限要素法の穏やかな紹介
- PE281有限要素法コースノート
- 有限要素法の紹介
- 手作業による有限要素解析
また、最後に提供したリンクと同様の優れたオンラインチュートリアルへのリンクがあり、基本を理解するのに大いに役立ちました。リンクが見つかったら、回答に追加します。
私が参照していたリンクを見つけました。残念ながら、それはドイツ語です：
- FEM Handrechnung
はい、フィールド $u$この場合、表面全体の近似熱拡散です。これは、頂点の「初期セット」から開始することで見つかります。これらは拡散のソースになり、最終的には距離フィールドの極小値になります。初期配布$u_0$が設定され、初期セットの値は1で、それ以外の場合は0です。（これは、リンクした論文の92ページのアルゴリズム1のすぐ下に記載されています。）
アルゴリズムの最初のステップは、線形方程式を解くことによって熱方程式の単一ステップを実行することです。 $(I - t\nabla)u = u_0$（論文の式3）。フィールド$u$ 距離フィールドを取得するためにさらに処理する近似熱拡散があります。