関数の直感を生成する

Aug 16 2020

母関数の使い方を理解しようとしています。シーケンスを母関数に圧縮して、生成する多項式の各係数がシーケンスの要素になることを理解しました。しかし、入力が何を変えるのかわかりませんか？

母関数があるとしましょう： $$G(x)=\sum^\infty_{k=0} p_k x^k$$

に異なる値を与えるとどうなりますか $x$、直感的に何が変わっているのでしょうか？私は思った$x^k$ 追加できないため、シーケンス内の係数の位置をエンコードするための用語がありました $p_ax^a$ そして $p_bx^b$ もし $ a \neq b$、用語が異質なままになるようにします。しかし、私は確率分布のためにプロパティが$G(1)=1$保持する必要があります。これは、xに値を与えることが役立つ唯一のケースですか？

よろしくお願いします。

回答

2 AntoniParellada Aug 16 2020 at 21:14

場合 $X$ 非負の整数の値を取る離散確率変数です $\{0,1, \dots\}$、次にの確率母関数 $X$ と定義されている：

$$\color{blue}{\displaystyle G(z)=\mathbb{E} \left(z^{X}\right)=\sum_{x=0}^{\infty }p(x)\;z^{x}}$$

どこ $p$ の確率質量関数です $X$。の選択$z$ の代わりに $x$単に、私たちが行っているのはz変換であるという考えに関連しています。

次のことに注意してください $z$ 物干しのように振る舞い、関心のある価値をハングアップさせます。関心のある価値は、差別化して評価した後に回収されます。 $0$ PMFを回復するため、または $1$それぞれの瞬間のために。この魔法は、$z$ どちらかになります $0$ 用語の末尾全体（PMF）、または $1.$ ただし、どちらの場合も、確率変数とは関係がなく、情報を提供しません。これは、ダミー変数と同等です。

特徴：

それは差別化することによってあなたに確率を与えます：

$$\color{blue}{\large p_i = \left. \frac{1}{i!}\quad\frac{d^i \, G(z)}{dx^i} \right|_{z=0}=\frac{1}{i!} \;G^{(i)}\;(0)}$$

$G\,(1)=1$ なぜなら $$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty p_i \; 1^i=1$$
最初の微分

$$G^{(1)}(z) =\frac{d}{dz}\mathbb E\left[z^X\right]=\mathbb E\left[X\,z^{X-1}\right]$$

で評価された最初の微分 $1$ あなたに平均を与える： $$G^{(1)}(1) =\left.\mathbb E\left[X\,z^{X-1}\right]\right|_{z=1}=\mathbb E\left[X\quad1^{X-1}\right]= \mathbb E[X].$$
で評価された二次導関数 $1$ は階乗のモーメントであり、第2項が二乗されていないため、分散ではありません。

$$\begin{align}G^{(2)}\;(1) &=\frac{d^2}{dz^2}\; \left.\mathbb E\left[z^X\right]\right|_{z=1}\\[2ex]&=\mathbb E\left[X\;(X-1)\;z^{X-2}\right]\\[2ex]&=\mathbb E\left[X\;(X-1)\right]\\[2ex]&=\mathbb E\left [X^2-X\right ]\\[2ex]&=\mathbb E\left[X^2\right] - \mathbb E\left[X\right]\end{align}$$

一般化すると、 $i$-で評価される3次導関数 $1$ それは $i$-階乗モーメント：

$$G^{(i)}\;(1)= \mathbb E\left[X\;(X-1)\;\cdots\;(X-i+1)\right]$$

分散を取得するには、

$$\begin{align}\sigma^2 &= \mathbb E\left[X^2\right]-\mathbb E\left[X\right]^2 \\[2ex] &=G^{(2)}\;(1)+G^{(1)}\;(1)-\left[G^{(1)}\;(1)\right]^2 \end{align}$$