カントール集合が数えられないのはなぜですか[重複]

Nov 25 2020

カントール集合に数え切れないほど多くの要素がある理由がわかりません。

カントール集合 $C$閉じています。そう$[0,1] - C = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} I_n$はオープンであり、互いに素なオープン間隔の可算和集合です。私はさらに私が注文できると仮定することができます$\{I_n\}$それらの数は数え切れないほど多いので、左側のエンドポイントによって。だから間$I_n=(a_n,b_n)$ そして $I_{n+1} = (a_{n+1},b_{n+1})$、私たちは持っている必要があります $a_n < b_n \leq a_{n+1} < b_{n+1}$。場合$b_n < a_{n+1}$、次にカントール集合 $C$ 矛盾である間隔で構成されているので、 $b_n = a_{n+1}$ すべてのために $n$、したがって、カントール集合は多くても可算数の点を持つことができます。

回答

6 Martund Nov 25 2020 at 12:32

あなたの推論の誤りは、数えられる数のセットが注文できるという仮定です。たとえば、可算であるが順序付けできない有理数のセットについて考えてみます（ここでの「順序付け」とは、次のような順序で列挙することを意味します。$\alpha_1<\alpha_2<\dots$）。

カントール集合が非可算であることを確認する簡単な方法は、 $0$ そして $1$ のみで構成される3進展開 $0$ そして $2$カントール集合の一部です。そのようなシーケンスは数え切れないほど多いので、カントール集合は数えられません。

2 MartinArgerami Nov 25 2020 at 12:34

私はさらに私が注文できると仮定することができます $\{I_n\}$ それらの数は数え切れないほど多いので、左側のエンドポイントによって。

いいえ、なぜできると思いますか？たとえば、可算数を考えてみましょう$$ \bigl\{\tfrac1n:\ n\in\mathbb N\bigr\}\cup\bigl\{\tfrac12-\tfrac1n:\ n\in\mathbb N\bigr\}. $$ 複数の集積点がある限り、整数でインデックス付けされたそれらを順序付けることは期待できません。

1 ChrisCulter Nov 25 2020 at 12:32

私はさらに私が注文できると仮定することができます $\{I_n\}$ それらの数は数え切れないほど多いので、左側のエンドポイントによって。

この論理により、有理数を順番に列挙することも可能になるはずです。しかし、それはばかげています。

HallaSurvivor Nov 25 2020 at 12:34

私はあなたの議論に十分に従わず、どこがうまくいかないのかを正確に知ることができません...あなたが自分自身に尋ねるかもしれない1つの質問は、「これはすべての閉集合が可算であることを示していますか？」です。ここに設定されたカントールの何が特別なのですか？私はそれを見ていません。

カントール集合が数えられない理由については、次のことを考慮してください。

カントール集合構造の各有限レベルで、各ピースの中央3分の1を「破棄」します。したがって、各段階で決定を下す必要があります。左に移動しますか？それとも私たちは正しく行きますか？

例： $[0,1]$。それから私達は入ることに決めなければなりません$[0,\frac{1}{3}]$ またはに $[\frac{2}{3},1]$。左に行ったとしましょう。今、私たちは入る選択肢があります$[0,\frac{1}{9}]$ または $[\frac{2}{9},\frac{1}{3}]$。

可算な選択肢のシーケンス（左または右）はすべて、カントール集合の一意のポイントを与えることがわかります。さらに、カントール集合のすべての点は、そのような一連の選択に対応します。だから私たちが書くなら$0$ 「左」と $1$ 「右、カントール集合の点は、の無限の弦と全単射です。 $0$砂 $1$s。

おもしろいことに、トポロジー構造も実際に一致しています！そのため、カントール集合と呼ばれる人がよく見られます。$2^\omega$。集合論的言語では、それは基本的に「の無限シーケンス」に変換されます$0$砂 $1$s」。

わかりました、しかし今、数え切れないほど多くの無限のシーケンスがなければなりません $0$砂 $1$s対角化引数による。したがって、カントール集合も数えられません。