体と有限体の違いは何ですか？
たぶん私の質問がトピックから外れていることを知っています、そしてそれについて申し訳ありません。
私は最近群論に陥り、体の正確な定義と混同しました。
私の先生は言います：
$Z_{x}$ 次の場合にのみフィールドです $x$ のような素数冪です $p^n$ どこ $p$ 素数であり、 $n$ は正の整数です。
この文によると、私たちは結論を下すことができます $Z_{4}$もフィールドですが、逆乗算の性質を満たさないので、フィールドであってはならないと思います。
ウィキペディアなどの一部のWebサイトは次のことを示しています。
有限体の要素の数は、その次数、または場合によってはそのサイズと呼ばれます。有限体の位数$q$ 注文があった場合にのみ存在します $q$ 素数冪です $p^k$ （どこ $p$ は素数であり、 $k$は正の整数です）。注文の分野で$p^k$、追加 $p$要素のコピーは常にゼロになります。つまり、フィールドの特性は次のとおりです。$p$。
この段落のため $Z_{4}$体ではないが有限体である必要があります。
だから私の質問は：私の先生は間違いを犯しましたか？ある有限体は、同じリング？そうでない場合、有限体と環の違いは何ですか？
インターネットのほとんどすべての関連ページを読んで、フィールドと有限フィールドの違いを見つけましたが、どれも正確に説明されておらず、今でも混乱しているので、ここで質問することにしました。
回答
有限体は体です。有限であろうと無限であろうと、フィールドにはゼロ因子がありません。もしそうなら$\mathbf{Z}_4$ もしかして $\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$、を法とする整数の環 $4$、その場合、そのリングの除数はゼロであり、したがってフィールドではないというのは正しいことです。4つの要素を持つフィールドがありますが、それは$\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}$。追加に関しては、このフィールドは次のようになります。$(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\times(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$。乗算に関しては、その構造はより複雑です。構造を説明するソースを簡単に見つけることができるはずです。
ここに簡単な要約があります：現場で $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ 方程式の解はありません $x^2+x+1=0$ （以来 $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ 2つの要素しかありません $0$ そして $1$、およびどちらも方程式を解きません）。私たちは分野を拡大するかもしれません$\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ 新しい要素を含めることによって $x$ これは、拡張するのとほぼ同じ方法で、上記の方程式を解きます $\mathbf{R}$ の解決策を含めることによって $x^2+1=0$。結果は、4つの要素を持つフィールドです。したがって、拡張フィールドの要素には次のものが含まれます。$0$、 $1$、 $x$、および $x+1$。あなたは尋ねるかもしれません、「どうですか$x^2$、など？」 $x$ 満たす $x^2+x+1=0$、私たちは常に排除することができます $x^2$ 以上のパワー $x$。これは使用に似ています$i^2=-1$ のより高い力を排除する $i$複素数を扱う場合。この新しいフィールドのゼロ以外の要素が巡回群を形成していることを確認できます$3$： $$ 1, x, x^2, x^3, x^4, x^5,\ldots=1, x, x+1, 1, x, x+1, \ldots. $$
有限体は同型を除いて一意であることに注意してください。
お役に立てれば。
場合 $k$ は有限体であり、環準同型 $$\varphi:\mathbb{Z}\rightarrow k,z\mapsto z\cdot1$$ どこ $z\cdot 1=\underbrace{1+...+1}_{z}$ にとって $z$ 非負および $z\cdot 1=\underbrace{-1+(-1)...+(-1)}_{-z}$ にとって $z$ 負の、ここで $\underbrace{1+...+1}_{0}=0$ は空和であり、重要なカーネルを持っている必要があります。 $\varphi$ 単射であり、 $\mathbb{Z}$無限です。今$\mathbb{Z}$ は主イデアルドメインであるため、カーネルは次の形式である必要があります $(p)=\{zp:z\in\mathbb{Z}\}$ いくつかのための $p\neq 0$ そして今、その商は簡単にわかります $\mathbb{Z}_p=\mathbb{Z}/(p)$ 次の場合にのみ整域です $p$それ自体がプライムです。体の部分環は整域であるため、カーネルは次のようになります。$(p)$ 素数のために $p$、の特性と呼ばれる $k$ 上記の商はの画像です $\mathbb{Z}$ に $k$。今$k$ は、このサブフィールド上のベクトル空間であり、有限次元の素数体とも呼ばれます。 $$\dim_{\mathbb{Z}_p}k=n$$ その後 $k$ 正確に持っています $p^n$ 要素。