加算の三分法則を証明する $\mathbb{N}$ （ペアノの公理）。
足し算の証明三分法の助けが必要です $\mathbb{N}$（ペアノの公理）。加算が結合法則で可換であることはすでに証明しました。また、私はキャンセル法といくつかの有用な見出語を証明しました。今、私は次の命題を証明するのに苦労しています：
しましょう $m,n \in \mathbb{N}$。次に、次のステートメントの1つだけが当てはまります。
- $m=n$
- 自然数があります $p \neq 0$ そのような $ m = n + p$。
- 自然数があります $q \neq 0 $ そのような $n = m + q$。
私の試み
最初に、私はこのステートメントの2つが同時に発生することはできないことを証明しました。
場合 $1), 2)$ 本当なら、 $m=m+p$ キャンセル法により、 $p=0$、矛盾。これはに類似しています$1),3)$。次に、$2),3)$。次に、$m = m + q + p$、およびキャンセル法により、 $ 0 = q + p \implies q=p=0$、矛盾（私はこの最後のステートメントを以前に証明しました）。その場合、1つのステートメントのみが真になります。
今、私は少なくともそれを証明する必要があります $1$証明を完了するためにステートメントのいくつかは本当ですが、私はどのように進めるかわかりません。これが基本的/古典的な質問であることは知っていますが、MSEでこれに関する投稿は見つかりませんでした。そのような投稿が存在する場合は、お知らせください。再投稿して申し訳ありません。
ヒントは大歓迎です。
回答
私たちは最初にそれをすべてのために証明します $n, m$、どちらか $\exists p (n + p = m)$ または $\exists p (m + p = m)$。帰納法で進めます$m$。
規範事例 $m = 0$：それから私達は持っています $m + n = 0 + n = n + 0 = n$。
帰納的ケース $m = S(k)$：帰納的仮説と、すべての数値が後継またはゼロであるという事実に基づいて、3つのサブケースに分割します。
サブケース $k + p = n$ どこ $p = S(p')$：それから私達は持っています $n = k + S(p') = S(k + p') = S(p' + k) = p' + S(k) = p' + m = m + p'$。
サブケース $k + p = n$ どこ $p = 0$：その後 $k + 0 = k = n$。次に$m = S(k) = S(n)$。次に$m = S(n + 0) = n + S(0)$。
サブケース $n + p = k$：その後 $n + S(p) = S(n + p) = m$。
したがって、私たちはすべてのためにそれを証明しました $n$、 $m$、どちらか $\exists p (n + p = m)$ または $\exists p (m + p = n)$。
私たちは今、すべての人のためにそれを証明したいと思います $n, m$、少なくとも1つあります $n = m$、 $\exists p (n + S(p) = m)$、および $\exists p (m + S(p) = n)$。
ここで、WLOGが $\exists p (n + p = m)$。2つのケースに分けます。まず、$p = 0$。次に、$n = m$。第二に、私たちが書くことができると仮定します$p = S(p')$。次に、$n + S(p') = m$。ケース$\exists p (m + p = n)$ 似ています。
明らかに、これは、三分法のオプションの少なくとも1つが成り立つことを示すのに十分です。