仮定します $\angle BAC = 60^\circ$ そして $\angle ABC = 20^\circ$。点数 $E$ 内部 $ABC$ 満たす $\angle EAB=20^\circ$ そして $\angle ECB=30^\circ$。
問題文：
三角形の中で $ABC$ 角度付き $\angle BAC = 60^\circ$ そして $\angle ABC = 20^\circ$、 点数 $E$ 三角形の内側は次のように与えられます $\angle EAB = 20^\circ$ そして $\angle ECB = 30^\circ$。証明してください$E$ の二等分線上にあります $\angle ABC$。
私はこの問題のためにGeogebraで絵を描きました、そしてこれは私がこれまでにしたことです：
描かれたすべての角度は、三角形の角度の合計が次のようになるという事実を使用して求められました。 $180^\circ$。私も気づきました$AD=BD$、 $AC=CD=AE$ 二等辺三角形を使用する。
私はそれを証明してみました $E$ の二等分線上にあります $\angle ABC$ それを証明することによって $GE=EI$ だから私はから垂直二等分線を描きました $E$ 側面に $AB$ そして $BC$、そして私は似たような三角形の2つのペアに気づきました： $\triangle AHE \sim \triangle AEF$ そして $\triangle CJE \sim \triangle CED$、しかし、これが何らかの形で役立つかどうかはわかりません。
それ以来私は立ち往生していて、これから続ける方法がわかりません。これが問題への正しいアプローチでさえあるかどうかはわかりません。私が逃したこの問題に取り組む方法はありますか？
回答
oleのおかげで、すでに良い、受け入れられた答えがあります、そしてそれを見た後、私はそれが受け入れられるのを待ちました。問題を攻撃するための（多かれ少なかれ3つの）異なる方法に焦点を当てて答えを始め、たくさんの写真を撮ったので、私はまだ作品を投稿するか削除するかという難しい決断をしました。一部の読者にとってはまだ興味深いという理由で、私は答えを完成させました。解決策が来る前のメモ。まだ追加されている複雑な解決策があります、それは既知の「ラングレー問題」とその構造が似ています。
1.stソリューション：この最初のソリューションは、本質的に同じoleのソリューションであり、正三角形を使用して1つの方向から別の方向への「ミュール」を実行し、画像が付属しています。
構築する $CE$ 正三角形 $\Delta CDE$、その角度二等分線が $C$ 線です $CB$。この三角形にもしましょう$C'$、 $D'$ 反対側の中点になります $C$、 $D$。しましょう$F$ の投影である $E$ オン $AB$。
次に $\Delta CAE$ の角度を持つ二等辺三角形です $C,E$ 同じ尺度の、 $70^\circ$、これは $\Delta ACD'=\Delta AED'=\Delta AEF$。そう$EC'=ED'=EF$。
$\square$
余談として、正三角形の「全体像」の文脈で見るのは興味深いかもしれません。 $AB$ ソリューションのポイントはどこにありますか、たとえばポイント $D$。コメント無し：
2.2番目の解決策：チェバの定理の三角関数バージョンを使用して、等式を示す必要があります。$$ 1\overset!= \frac{\sin20^\circ}{\sin40^\circ}\cdot \frac{\sin70^\circ}{\sin30^\circ}\cdot \frac{\sin10^\circ}{\sin10^\circ}\ . $$ これはすぐに使用します $\sin 40^\circ =2\sin 20^\circ \cos 20^\circ $。
$\square$
3.第3の解決策：このような場合にしばしば自己提案される他の解決策は、与えられた三角形を正多角形の「一部」として実現し、この多角形内の対称性を使用することです。これは解決策としてはやり過ぎに思えるかもしれませんが、最も複雑な図を作成しますが、そのような「偶然」が存在する理由、それらがどれほど「多い」か、および同様の問題を構築/構成する方法を理解することは正しい構造的視点かもしれません。
比較として、多くの簡単な解決策があるラングレーの問題を考えてみましょうが、...
スタック交換の質問1121534
私たちの場合、転置は...
与えられた三角形の構成は、次のように正多角形の中に埋め込まれます。 $\Delta (0,2,12)$。対角線を示したい$0-9$; $2-14$、 $4-16$、 $1-12$、 $6-17$ で同時 $E$。
現在、次の変換を実行しています。 $18$-お互いの次の写真からのゴン：
ポイントを中心として使用 $9$ 最初に動く回転を使用します $1$ に $0$、次にセグメントの長さをもたらす類似性を使用します $[9,13]$ セグメントの長さに $[9,12]$。もちろん、回転と相似の順序を変更せずに戻すことができます。変換をすばやく視覚的に支援するために、2つの三角形にマークを付けました。赤い三角形$\Delta(9,13,1)$ 青い三角形に変換されます $\Delta(9',13',1')=\Delta(9,12,1')$。これはそうです$9=9'$、 $9$ 回転とストレッチの中心であり、セグメント $[9,13]$ にマッピングされます $[9',13']=[9,12]$2つのセグメントが直角で正しい比率にあるためです。識別しましょう$1'$ ポイントとして $E$ 問題から。
- $9,1',0$ 両方の線が同一線上にあるため $90$ そして $91'$ 同じ角度を構築します $90'$。
- そう $9,(k+1)',k$ 頂点の他のすべての値に対して同一線上にあります $k$。
- $1,1',12$ 以来、共線的です $\angle (9,12,1)=\angle (9,13,1)=\angle (9',13',1')=\angle (9,12,1')$。
- 同様に、 $k,k',12$ 頂点の他のすべての値に対して同一線上にあります $k$ 変換された頂点 $k'$。
- 台詞 $1'-2'$ そして $4-16$ 一致します、これは線を使用して示すことができます $12=13'$、 $O'$、 $4'$、 $4$ または平行線 $8-8'-12$ 同じ距離で。
さらに別の写真。
$ GE = 1/2 * CE（30の反対）、ACE二等辺三角形（角度70,70）、CEに垂直に描画、2つの合同な直角三角形、角度20、一般的な斜辺があります。したがって、GE = EIです。
しましょう $\angle EBC=\alpha$ そして $\angle EBA=20^\circ-\alpha$。チェバの定理の三角関数形式を使用すると、次のことがわかります。$$\frac{sin(40^\circ)}{sin(20^\circ)}\cdot\frac{sin(20^\circ-\alpha)}{sin(\alpha)}\cdot\frac{sin(30^\circ)}{sin(70^\circ)}=1$$ 二倍角の公式といくつかの三角関数公式を使用して $$\frac{2sin(20^\circ)cos(20^\circ)}{sin(20^\circ)} \cdot\frac{sin(20^\circ-\alpha)}{sin(\alpha)}\cdot\frac{\frac{1}{2}}{cos(20^\circ)}=1$$ どのsimplifesに $$sin(20^\circ-\alpha)=sin(\alpha)$$ したがって、 $\alpha=10^\circ$ つまり、 $E$ 二等分線上にあります。
あなたの図で、使用しましょう $\alpha=\angle CBE$ そして $\beta=\angle ABE$。次に、正弦定理を使用して$\triangle CEB$： $$\frac{\sin\alpha}{CE}=\frac{\sin 30^\circ}{EB}$$ 同様に、 $\triangle EBA$： $$\frac{\sin\beta}{AE}=\frac{\sin 20^\circ}{EB}$$ そう $$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{\sin 30^\circ}{\sin20^\circ}\frac{CE}{AE}$$ 長さの最後の比率はから取得します $\triangle AEC$： $$\frac{CE}{AC}=\frac{\sin 40^\circ}{\sin 70^\circ}$$ そう $$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{\sin 30^\circ}{\sin20^\circ}\frac{\sin 40^\circ}{\sin 70^\circ}$$ 現在使用中 $$\sin 20^\circ\sin70^\circ=\frac 12\cos(20^\circ-70^\circ)\frac 12\cos(20^\circ+70^\circ)=\frac12\cos(50^\circ)=\frac12\sin40^\circ$$ そして $\sin 30^\circ=\frac 12$、あなたは得る $$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=1$$または $\alpha=\beta$