計算方法 $\lim _{x\to \infty }x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x$

Question

$$\lim _{x\to \infty }x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x$$

私の考えはオイラー数の限界を使用することですが、この本は次の補題でそれを計算するために「私を望んでいる」と思います。

fが区間Iの2倍の導関数である場合、 $a \in I. \forall x \in I, f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac 12f''(z)(x-a)^2, z$ 間にある $a$ そして $x$。特に、$\epsilon(x)=\frac12f''(z)(x-a)^2$

私が考えているもう一つのことは：

$$x=2y \Rightarrow \lim _{x\to \infty }x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x= \lim _{y\to \infty }2y\sin\left(\frac{1}{\lceil{y}\rceil}\right)^{2y}\\ = \lim _{y\to \infty }2y\sin\left(\exp\left(2y\ln\left(\frac{1}{\lceil{y}\rceil}\right)\right)\right)$$

私は間違った道を進んでいますか？

Answer 1

以来 $\sin(x)\le x$ すべての正の実数 $x$：

$$\sin\left(\frac{2}{\lceil{x}\rceil}\right)\le\frac{2}{\lceil{x}\rceil}, $$

どこ

$$\frac{2}{x+1}\le \frac{2}{\lceil{x\rceil}}\le\frac{2}{x}.$$ したがって、

$$x\left(\frac{2}{x+1}\right)^x\le x\left(\frac{2}{\lceil{x}\rceil}\right)^x\le x\left(\frac{2}{x}\right)^x,$$

そしてあなたの限界ははさみうちの定理に従います。

Answer 2

$$x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x \leqslant x \left(\frac{1}{2}\right)^x$$