検索 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\sigma -1} (n+\sigma )-(n+1)^{\sigma }}{\sigma(1-\sigma)}$ にとって $ 0<\sigma<1$
検索 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\sigma -1} (n+\sigma )-(n+1)^{\sigma }}{\sigma(1-\sigma)}$ にとって $ 0<\sigma<1$
私の試み $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\sigma -1} (n+\sigma )-(n+1)^{\sigma }}{\sigma(1-\sigma)}$= $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\sigma } -(n+1)^{\sigma }+\sigma n^{1-\sigma}}{\sigma(1-\sigma)}$ したがって、合計は
$\frac{1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1-\sigma}}}{\sigma(\sigma-1)}$。ここからも評価する$\int_{1}^{\infty}$ $\frac{1-(x-[x])}{x^{2-\sigma}}$dxここで、[x]は最大の整数関数を示し、 $0<\sigma<1$ $\int_1^\infty(1-x+\lfloor x\rfloor )\, x^{\sigma -2}\,dx=$$\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {n ^ {\ sigma -1}（n + \ sigma）-（n + 1）^ {\ sigma}} {\ sigma（1- \ sigma）} $ = $ \ frac {1+ \ sigma \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ {1- \ sigma}}} {\ sigma（\ sigma-1）} $。$ \ int_1 ^ \ infty（1-x + \ lfloor x \ rfloor）\、x ^ {\ sigma -2} \、dx \ leq$$\int_1^\infty$$x ^ {\ sigma-2} $ dx = $ \ frac {1} {1- \ sigma} $。したがって、式（1）の左側の積分は収束しているため、右側の合計は収束している必要がありますが、$ 0 <\ sigma <1、0 <1- \ sigma <1 $の場合です。したがって、右側の級数$ \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {1} {n ^ {1- \ sigma}} $は発散しています。私は知っている$ \ゼータ（S）$ = $ \ sum_1 ^ \ inftyの\ FRAC {1} {N ^ S} $、$ \再（S）> 1. $のヘルプを
回答
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ と $\ds{N \in \mathbb{N}_{>\ 1}}$： \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\left.\sum_{n = 1}^{N} {n^{\sigma -1}\pars{n + \sigma} - \pars{n + 1}^{\sigma} \over \sigma\pars{1 - \sigma}} \,\right\vert_{\ 0\ <\ \sigma\ <\ 1}} \\[5mm] = &\ {1 \over \sigma\pars{1 - \sigma}}\bracks{% \sum_{n = 1}^{N}n^{\sigma} + \sigma\sum_{n = 1}^{N}n^{\sigma - 1} - \sum_{n = 1}^{N}\pars{n + 1}^{\sigma}} \\[5mm] = &\ {1 \over \sigma\pars{1 - \sigma}}\ \times \\[2mm] &\ \braces{% \pars{1 + \sum_{n = 2}^{N}n^{\sigma}} + \sigma\sum_{n = 1}^{N}n^{\sigma - 1} - \bracks{\sum_{n = 2}^{N}n^{\sigma} + \pars{N + 1}^{\sigma}}} \\[5mm] = & {1 \over \sigma\pars{1 - \sigma}} + {1 \over 1 - \sigma}\sum_{n = 1}^{N}{1 \over n^{1 - \sigma}} - {\pars{N + 1}^{\sigma} \over \sigma\pars{1 - \sigma}} \\[5mm] = &\ {1 \over \sigma\pars{1 - \sigma}} \\[2mm] &\ + {1 \over 1 - \sigma}\ \bracks{\zeta\pars{1 - \sigma} + {N^{\sigma} \over \sigma} + \pars{1 - \sigma}\int_{N}^{\infty}{\braces{x} \over x^{2 - \sigma}}\,\dd x} \\[2mm] &\ - {\pars{N + 1}^{\sigma} \over \sigma\pars{1 - \sigma}} \\[5mm] = & {1 + \sigma\,\zeta\pars{1 - \sigma} \over \sigma\pars{1 - \sigma}} + \int_{N}^{\infty}{\braces{x} \over x^{2 - \sigma}}\,\dd x - {\pars{N + 1}^{\sigma} - N^{\sigma} \over \sigma\pars{1 - \sigma}} \end{align}このアイデンティティを参照してください。ご了承ください\begin{align} 0 & < \verts{\pars{1 - \sigma}\int_{N}^{\infty}{\braces{x} \over x^{2 - \sigma}}\,\dd x} < \pars{1 - \sigma}\int_{N}^{\infty}{\dd x \over x^{2 - \sigma}} \\[5mm] & = {1 \over N^{1 - \sigma}} \,\,\,\stackrel{\mrm{as}\ N\ \to \infty}{\Large\to}\,\,\, \color{red}{\large 0} \end{align} そして $\ds{{\pars{N + 1}^{\sigma} - N^{\sigma} \over \sigma\pars{1 - \sigma}} \sim {1 \over 1 - \sigma} \,{1 \over N^{1 - \sigma}} \to \color{red}{0}\,\,\,}$ なので $\ds{\,\,\, N \to \infty}$。
次に、 $$ \bbox[5px,#ffd]{\left.\sum_{n = 1}^{\infty} {n^{\sigma -1}\pars{n + \sigma} - \pars{n + 1}^{\sigma} \over \sigma\pars{1 - \sigma}} \,\right\vert_{\ 0\ <\ \sigma\ <\ 1}} = \bbx{1 + \sigma\,\zeta\pars{1 - \sigma} \over \sigma\pars{1 - \sigma}} \\ $$
ソリューションがケースを制限するのはおもしろいです $\ds{\sigma \to 0^{+}}$ に等しい $\ds{\gamma}$（ オイラー-マシェロニ定数）。