記号力学とコーディングの問題1.2.14(b)

Nov 22 2020

与えられたアルファベット $\mathcal{A}$ サイズ3の $X=\{x\in\mathcal{A}^{\mathbb{Z}}: x_{i+n^2}\neq x_{i} \forall i\in\mathbb{Z} \forall n\in\mathbb{N}\}$。ここに$x_i$ の省略形です $x(i)$。それを示す$X=\emptyset$ ピタゴラストリプルを使ってみました $a^2+b^2=c^2$ そして、 $x_{a^2}=x_{b^2}$ そのような場合 $x$存在しました。だから今私がする必要があるのは証明することだけです$x_{a^2}\neq x_{b^2}$ そして私は矛盾による証拠を持っています。

回答

3 CalvinLin Nov 22 2020 at 11:21

(必要に応じてギャップを埋めます。行き詰まっている場合は、作業と思考のプロセスを書き留めて、現在の場所を示します。)

そのようなシーケンスが存在するとします。しましょう$\mathcal{A} = \{R, B, G \}$

  1. WLOGレット $ x_1 = R$
  2. フォームの数に焦点を当てます $ x_{1 + n^2}$、およびそれらにラベルを付けます $y_n$。明らかに$y_n = B$ または $G$
  3. 主張:もし $ a^2 + b^2 = c^2$、その後 $ y_a, y_b$ 同じ色で、 $y_c$
  4. WLOGレット $ y_3 = y_4 = B$ そう $y_5 = G$
  5. そう $y_5 = y_{12} = G, y_{13} = B$
  6. そう $y_{12}=y_{16} = G, y_{20} = B$
  7. ピタゴラストリプル(およびその倍数)を使用して、矛盾が生じるまで既知の用語で追加し続けます。(私はと矛盾します$y_{16}$、最終的には $B$。もちろん、別の矛盾に達する可能性があります。)

$ y_{12} = y_{9} = G, y_{15} = B$
$y_{15} = y_8 = B, y_{17} = G$
$y_8 = y_6 = B, y_{10} = G$
$y_{10} = y_{24} = G, y_{26} = B $
$y_{24} = y_{18} = G, y_{30} = B $
$y_{30} = y_{16} = B, y_{34} = G $