基本群表記
私は現在、Spanierの代数的トポロジーテキストの問題に取り組んでいます。具体的には、第2章の問題B4に取り組んでおり、それを証明するように求めています。$\pi(S^1 \vee S^1)$ 非アーベルです。
さて、テキストの前半で、著者は次のように述べています $\pi(X,x_0)$ の基本群です $X$ に基づいて $x_0$。したがって、私の質問は、表記法は$\pi(S^1 \vee S^1)$ ここでは単にの基本群を示します $S^1 \vee S^1$ベースポイントを選択せずに？一般的に、表記は$\pi(X)$ 単にの基本群を意味するためによく使用されます $X$？これは私には理にかなっています。$X$ ベースポイントの選択とは無関係です。
最後に、 $\pi(X)$ 本当にの基本群とは違うものです $X$、それを示すことを達成できますか $\pi(X)$ の基本群が $X$ 非アーベルですか？
ありがとうございました ！
回答
はい、基本群を参照するときはベースポイントを省略するのが一般的です。これは表記法の乱用ですが、おっしゃるように、パス接続空間の基本群は同型を除いて基点の選択とは無関係であるため、多くの場合無害です。（ただし、基本群が非アーベル群の場合、同型写像は非正準であるため、これには注意が必要です！）
ただし、この表記については言及しておきます。 $\pi(X,x_0)$ （または $\pi(X)$）基本群には一般的に使用されません。代わりに、それは通常呼ばれます$\pi_1(X,x_0)$ （または $\pi_1(X)$ ベースポイントが抑制されている場合）。
基点は必要ありません。 $S^1\vee S^1$パス接続されています。異なる可能な基点にあるすべての基本群は同型です。
そして $\pi_1(X)$ 通常、の基本グループです $X$、（$\pi_n(X)$ であること $n$-のホモトピー群 $X$、からのマップのホモトピークラスを検討します $S^n$ に $X$。）