奇数項の合計からシーケンスの合計を取得します。

Question

合計を計算したい $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} $$ のフーリエ級数を使用して $f(x)=|x|$ 以上 $(-\pi,\pi)$。係数$b_k$ 全てです $0$ なぜなら $f$均等です。統合作業を行って、私は以下を取得しました。$$ a_0 = \pi $$ そして $$ a_k = \frac{2}{k^2}\bigg((-1)^k-1\bigg) $$ ために $k>0$。パーセバルの等式は次のようになります。$$ \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k^2+b_k^2)= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f^2dx $$ これは $$ \frac{\pi^2}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{4}{\pi^2k^4}(2-2(-1)^k) = \frac{2}{3}\pi^2 $$ これは単純化して $$ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^4} = \frac{\pi^4}{48} $$ これは基本的に言う： $$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96} $$ そこから合計を取得する方法はありますか？

Answer 1

あなたが持っているものがそれであることに注意してください $2\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k+1)^4}=\frac {\pi^4}{48}$。呼び出し$\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{k^4}=S$ あなたはそれを持っています $\sum_{k=0}^{\infty} \frac 1{(2k)^4}=\frac 1{16} S$ そして最後にあなたは $S-\frac 1{16}S=\frac 12 \frac {\pi^4}{48}$ そこから $S=\frac {\pi^4}{90}$

Answer 2

あなたは本質的に持っています

$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ... = \frac{\pi^4}{96}}$$

あなたが見つけたい

$${\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ... = ?}$$

言い換えれば、あなたは追加したい

$${\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...}$$

因数分解 ${\frac{1}{2^4}}$ 上記の利回りについて

$${\frac{1}{2^4}\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...\right)}$$

だから全体的に、あなたが呼ぶなら ${S=\frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + ...}$ あなたが持っている

$${\left(\frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + ...\right) + \left(\frac{1}{2^4} + \frac{1}{4^4} + ...\right) = S}$$

$${\Rightarrow \frac{\pi^4}{96} + \frac{1}{2^4}S = S}$$

あなたは今のために再配置できますか ${S}$？