このシーケンスファミリーの名前はありますか？

Question

シーケンス ${\displaystyle{M_n:=2^{p_n}-1}}$、 どこ ${\displaystyle{n\gt0}}$ そして ${p_n}$ それは ${\displaystyle{n}^{th}}$素数は、一般にメルセンヌ数として知られています（メルセンヌ素数と混同しないでください。メルセンヌ数自体も素数である必要があります）。これらには、このシーケンスのメンバーがで割り切れないという特性があります。${2}$（すべてのメルセンヌ数も奇数です）。一般的に、シーケンス${\displaystyle{a_{m,n}:=p_m^{p_n}-p_{m-1}\#}}$、 どこ ${\displaystyle{m,n>0}}$ そして ${\displaystyle{p_m\#:=\prod_{i=1}^mp_i}}$ それは ${\displaystyle{m^{th}}}$ 素数階乗、最初の数で割り切れるメンバーは含まれていません ${\displaystyle{m}}$素数。メルセンヌ数は特別な場合です${\displaystyle{m=1}}$。

これらのシーケンスには名前がありますか？最初の人による不可分性以外に、メルセンヌ数の重要な特性を実行します${\displaystyle{m}}$ 素数はこれらの関連するシーケンスに一般化しますか？

Answer 1

シーケンスのファミリーをいくらか広げましょう。しましょう$b,c$ 整数であり、 $b\gt 1$、およびの整数列を検討します $k = 0,1,2,\ldots$：

$$ s_k = b^k - c $$

あなたが尋ねるのはいつですか $b=p$ 素数であり、 $c = (p-1)\#$ある素数階乗の数、そしてあなたは、プライム指数のサブに注意を制限$k$。

固定オフセットでこれらの正確な累乗を呼び出しましょう。オフセット定数の負の値と正の値$c$が許可されているため、これらのシーケンスには、サブシーケンスとしてフェルマー数とメルセンヌ数が含まれます。このファミリであまり知られていないシーケンスは、カニンガム番号です。

$$ b^n \pm 1 $$

およびいわゆるクランドル素数（リチャードクランドルの米国特許第5,159,632号の後、ベンダーとカスタニョーリによる先行技術があります）：

$$ 2^q - c \;\;\text{ for small odd } c $$

後者は、楕円曲線暗号システムの素数係数として使用するために、（数十のメルセンヌ素数よりも）豊富な素数を提供するものとして研究されました。

これらのシーケンスの重要な特徴は、1次の単変量多項式の反復から生じることです。

$$ s_{k+1} = b s_k + (b-1)c $$

これは、数論力学による治療につながります。例を挙げていくつかのアイデアを説明します$b=3$ そして $c=2$ あなたの構造の。