このタイプの有限半群は左モノイドですか?

Dec 23 2020

しましょう $(S, \cdot, e)$ 半群になる $(S, \cdot)$ 二項演算付き $e$ その中でアイデンティティ $e(x, y)\cdot x\approx x$ そして $e(x, y)\approx e(y, x)$ ホールド。

で、この質問そのような半群は必ずしも左モノイドである場合、私は尋ねました。J.-Eによって私に与えられた例。ピンは、これが真実ではないことを示しています。明らかに、$(\mathbb{Z}, \min, \max)$ 左モノイドではありませんが、それらのアイデンティティを満たします。

左モノイドは、左のアイデンティティを持つ半群です。

左モノイドではないこのような有限の半群を見つけることができなかったので、順序のGAP半群をチェックインしてみました $\leq 4$、私は、この形式のすべての有限半群が、いくつかの組み合わせ上の理由でモノイドのままになっていると思います。

残念ながら、注文のすべての半グループを取得する方法がわかりません。 $\leq 7$、GAPのSmallsemiパッケージを使用して、モノジェニックまたはモノイドではないすべての半群を取得し、掛け算の九九を作成して手作業でこの形式であるかどうかを確認する以外は、モノイドのままではなく、lwr半群になります。ご想像のとおり、これは非常に面倒です。

この形式の有限の半群が存在し、左モノイドではありません。存在する場合、最小次数の例を提供できますか?

回答

2 J.-E.Pin Dec 28 2020 at 22:24

空でない有限半群 $S$このタイプのは左のアイデンティティを持っています。まず、すべての人にそれを観察します$x, y \in S$$$ (1) \quad e(x,y)x = x \text{ and } e(x,y)y = e(y,x)y = y. $$ 以来 $S$ 有限であり、べき等が含まれています $x_0$。しましょう$S = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\}$ そしてしましょう $(a_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ の要素のシーケンスである $S$ によって定義されます $a_0 = x_0$ そして、 $1 \leqslant i \leqslant n$$a_i = e(a_{i-1},x_i)$

主張$a_n$ の左のアイデンティティです $S$

まず、それを観察します。 $1 \leqslant i \leqslant n$\begin{align} &(2) \quad& a_ia_{i-1} &= e(a_{i-1},x_i)a_{i-1} = a_{i-1} \\ &(3) \quad& a_ix_i &= e(a_{i-1},x_i)x_i = x_i \end{align} 帰納法で証明しましょう $k = i+j$ それのために $0 \leqslant i \leqslant j$$$ (4) \quad a_jx_i = x_i. $$ 場合 $k = 0$、その後 $i = j = 0$ そして $a_0x_0 = x_0$ 以来 $x_0$べき等です。(4)が$i + j \leqslant k$ そして、 $i + j = k+1$。場合$i = j$、次に(4)は(3)から続きます。今なら$i \leqslant j-1$、その後 $a_{j-1}x_i = x_i$帰納法による仮説。(2)は次のようになります$$ a_jx_i = a_j(a_{j-1}x_i) = (a_ja_{j-1})x_i = a_{j-1}x_i = x_i. $$ これは主張を証明し、証明を終了します。