擬コンパクト空間の連続画像はその限界に達しますか？

Question

しましょう $X$ 位相空間と任意の連続関数である $f:X\to \mathbb R$ 有界、すなわち $X$ は擬コンパクト位相空間です。それは必然的に、上の連続実数値関数を意味しますか？ $X$ 最高と最低も達成しますか？そうでない場合、誰かが私に反例を提供できますか？

次の場合は明らかです $X$ コンパクトで、 $f(X)$ コンパクトなので $f$ は有界であり、その限界に達しますが、スペースが見つかる可能性があります $X$ 擬コンパクトですが、まだコンパクトではありません。その場合、この引数は失敗します。そのため、上記の例を検索します。

Answer 1

場合 $X$ 擬コンパクトであり、 $f: X \to Y$ 連続的であり、 $Y$ 擬コンパクトでもあります（ $g: Y \to \Bbb R$ 継続的です、 $g \circ f$ 継続している $X$ に $\Bbb R$ そのように制限されているので、そうです $g$）。

だからもし $X$ 疑似影響であり、 $f: X \to \Bbb R$ 継続的です、 $f[X]$ の擬コンパクト部分空間です $\Bbb R$。ただし、距離空間の場合、疑似コンパクト性とコンパクト性は同等です。そう$f[X]$ コンパクトです $\Bbb R$ そして、最大値と最小値があります、エルゴ $f$ その限界に到達します。

直接証明のアイデア： $f[X]$ 閉じられていなかった $p \in \overline{f[X]}\setminus f[X]$、地図を検討してください $g: X \to \Bbb R$ によって定義されます $\frac{1}{|p-f(x)|}$ その後、継続的で無制限になります $X$。そう$f[X]$ 閉じており、 $f[X]$ それは言う $\sup f[X]$ の存在と閉鎖 $f[X]$ 意味する $\sup f[X] \in f[X]$ 等