コンパクトセットの可算非交和としてメトリックをスペースに書くことは可能ですか?

Aug 17 2020

しましょう $ (X,d)$ 距離空間になり、 $\mu $ ラドンになる $\sigma$-ボレルの有限測度 $\sigma$-代数。可算の互いに素なコンパクトセットを見つけることが可能であると読みました$\lbrace K_n\rbrace_{\mathbb{N}}$$\mu$-ヌルセット $N$ そのような $$ X=\bigcup_{\mathbb{N}}K_n\cup N. $$

私はの内部規則性を使用していくつかの結果に到達しようとしました $\mu$、しかし何も。この声明は本当ですか?どうすればそれを証明できますか?

回答

5 tomasz Aug 17 2020 at 21:32

ここでの重要な前提は、 $\mu$はラドン測度であり、コンパクトセットに関して内部正則であることを意味します。この仮定がなければ、たとえそうでなくても、これは真実ではありません。$\mu$ は有限です(たとえば、すべてのコンパクトセットが有限である連続測度をサポートする距離空間があります)。

書く $X=\bigcup_n X_n$、ここでそれぞれ $X_n$互いに素なボレルであり、有限測度です。次に、再帰的に、コンパクトを選択します$K_{n,m}\subseteq X_n\setminus \bigcup_{m'<m} K_{n,m'}$ そのような $\mu((X_n\setminus \bigcup_{m'<m} K_{n,m'})\setminus K_{n,m})<1/m$。次に$X_n\setminus \bigcup_{m} K_{n,m}$ nullであるため、 $X\setminus\bigcup_{n,m} K_{n,m}$ nullであり、 $K_{n,m}$ 明らかに互いに素です。