孤立型のCantor-Bendixsonランク
これは、S.Buechlerの著書Essential Stability Theoryの補題2.2.3（i）です。しましょう$T$完全理論である。数式のCantor-Bendixsonランクを定義します$\phi$ に $n$ 次のような変数。
- $CB(\phi)=-1$ もし $\phi$ 一貫性がありません。
- しましょう $\alpha$ 序数であり、そして $\Psi_{\alpha}= \{\psi: CB(\psi)=\beta \mbox{ for some } \beta < \alpha \}$。 $CB(\phi)=\alpha$ もし $\{p\in S_n(\emptyset) : \phi \in p \mbox{ and } \neg \psi \in p \mbox{ for all } \psi \in \Psi_{\alpha} \}$ 空ではなく有限です。
しましょう $p$ 完全に孤立している $n$-タイプ。それから私達はそれを知っています$p$ 式によって分離されます $\phi'$分離の定義から。私の質問は
なぜ $CB(\phi')=0$ ？
種類が限られていることを示さなければならないようです $p \in S_n(\emptyset)$ これ $\phi' \in p$ そして $\neg \psi \in p$ すべてのために $\psi \in \Psi_0$。しかし、これを証明する方法がわかりません。ヒントや提案は大歓迎です。ありがとうございました！
回答
まず、あなたが言及した定義から直接これを証明しましょう。の式$\Psi_0$正確に一貫性のない式です。だからどんなタイプでも$q$ および任意の $\psi \in \Psi_0$ 我々は持っています $\neg \psi \in q$。つまり、$$ \{q \in S_n(\emptyset) : \phi' \in q \text{ and } \neg \psi \in q \text{ for all } \psi \in \Psi_0\} = \{q \in S_n(\emptyset) : \phi' \in q\} = \{p\}, $$ 最後の平等が続くのは $\phi'$ 分離株 $p$。だから確かに$CB(\phi') = 0$。
Cantor-Bendixsonランクも、次のようにトポロジ的に定義されることがよくあります。参考のために、例えば、テントとジーグラーによるモデル理論のコース、演習6.2.6、またはモデル理論：マーカーによる紹介、演習6.6.19gを参照してください（タイプミスがありますが、以下の定義から明らかです）。 。
位相空間の場合 $X$ 私たちは定義します $X^{(\alpha)}$ 序数用 $\alpha$ 次のように：
- $X^{(0)} = X$、
- $X^{(\alpha+1)} = X^{(\alpha)} - \{x \in X^{(\alpha)} : x \text{ is an isolated point in } X^{(\alpha)}\}$、
- $X^{(\lambda)} = \bigcap_{\alpha < \lambda} X^{(\alpha)}$ 制限のため $\lambda$。
私たちは $X^{(\alpha)}$ インクルード $\alpha$カントール-Bendixson誘導体番目の$X$。ポイントについて$x \in X$カントール-Bendixsonランク $CB(x)$ その場合、最大です $\alpha$ そのような $x \in X^{(\alpha)}$。
これをに適用する $X = S_n(\emptyset)$ 公式についてCantor-Bendixsonを理解することができます $\phi$ 設定することにより $$ CB(\phi) = \sup \{CB(p) : \phi \in p \in S_n(\emptyset)\}. $$これらの定義が同等であることを示すのは良い練習になるでしょう（それはあなたが尋ねたものより難しい練習になるでしょうが）。これらの定義により、それは簡単にそれに従うでしょう$CB(\phi') = 0$ もし $\phi'$ タイプを分離します。