区分的関数がダルブー積分可能であることを証明する $[0,2]$ 援助

Aug 16 2020

しましょう $f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}$ によって与えられる

$$f(x) = \left\{ \begin{array}\ 10,\quad \ 0\leq x < 1, \\ 100,\quad \ x = 1, \\ -5,\quad \ 1 < x \leq 2. \\ \end{array} \right. $$

証明してください $f$ ダルブー積分可能で計算 $\int_{0}^{2}f$

試みる

関数がすべての人にとってダルブー積分可能な手段であること $\epsilon > 0$、パーティションが存在します $P$$[0,2]$ そのような $U(f,P) - L(f,P) < \epsilon$

仮定します $P = \{t_{0}, \dots, t_{n}\}$ のパーティションです $[0,2]$$t_{j-1} < 1 < t_{j}$

ために、 $t_{0} < \dots < t_{j-1}$$m_{i} = M_{i} = 10$

またのために $t_{j} < \dots < t_{n}$$m_{i} = M_{i} = -5$

今、私は管理に問題があります $x = 1$これが不連続性であり、明らかに問題の課題です。最初はそう言うつもりでした$m_{i} = M_{i} = 100$ 数字の1がどの間隔にあるかに関係なく、次のようになります。

$$L(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

そして

$$U(f,P) = \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}-5(t_{i} - t_{i-1})$$

次に、これらを引くと、 $U(f,P) - L(f,P) = 0 < \epsilon$

しかし、これは正しい答えではないと感じており、パーティションをもう少し明確に表現する必要があります。また何でも$U(f,P) - L(f,P)$つまり、それは最終的に積分が何であるかに収束するでしょう。そして、積分を計算するとき(以前の計算手法を使用したチェックとして)、私は$5$これは、上限と下限の合計の差の値ではありません。どこが間違っているのですか?

回答

1 enzotib Aug 16 2020 at 19:44

修繕 $\varepsilon$ とられた $\delta$ 十分に小さい、あなたは取ることができます $$ t_{j-1}=1-\delta,\qquad t_j=1+\delta, $$
そのため \begin{align} L(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + \mathbf{(-5)}(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)-5\cdot2\delta-5(1-\delta)=5-15\delta\\ U(f,P) &= \sum_{i = 1}^{n}M_{i}(t_{i} - t_{i - 1}) = \sum_{i = 1}^{j-1}10(t_{i} - t_{i-1}) + 100(t_{j} - t_{j-1}) + \sum_{j+1}^{n}(-5)(t_{i} - t_{i-1})=\\ &=10(1-\delta)+100\cdot2\delta-5(1-\delta)=5+195\delta \end{align} 持っているように $$ U(f,P)-L(f,P)=210\delta<\varepsilon $$ あなたは選択する必要があります $$ \delta<\frac{\varepsilon}{180}. $$