極座標による制限

Question

こんにちは私はこの制限についていくつかの助けが必要です： $$ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^4y}{x^2+(x+y)^2}$$ 極座標を使用して、それを取得しました $$ \frac{x^4y}{x^2+(x+y)^2}= \frac{r^3\cdot(\cos φ)^4 \sin φ } {1+ (\cosφ)^2+\sin(2φ)} $$ これからどうやって進めたらいいのかわからなかった。

Answer 1

$(x,y) \mapsto (r cos\phi, r sin\phi)$。そうするとき$(x,y) \to (0,0)$ それはそれを言うことと同等です $r\to 0$。したがって、制限はゼロになります。$r^3$ 分子で。

Answer 2

別の方法として、極座標なしで、 $(x+y)^2 \ge 0$、私たちはそれを持っています

$$x=0 \,(y\neq 0)\implies \frac{x^4y}{x^2+(x+y)^2}=0$$

$$x\neq 0 \implies \left|\frac{x^4y}{x^2+(x+y)^2}\right|\le\left|\frac{x^4y}{x^2}\right| =x^2|y| \to 0$$

極座標を使用して、はさみうちの定理で結論を出すには、次のことを示す必要があることに注意してください。

$$f(\theta)=\frac{(\cos φ)^4 \sin φ } { (\cosφ)^2+2\sin φ\cos φ +1}$$

が制限されているため、同じ前の方法になります。