Milnor＆Stacheffの質問-特性類、チャーン類の構築

Question

次の段落は本から抜粋したものです。

ここで、複合体の特性クラスの帰納的定義を示します。 $n$-プレーンバンドル $\omega=(\pi: E\to M)$。正規を構築するために最初に必要な場合$(n-1)$-プレーンバンドル $\omega_0$ 削除された合計スペース $E_0$。（（$E_0$ のすべての非ゼロベクトルのセットを示します $E$。）ポイント $E_0$ ファイバーで指定 $F$ の $\omega$ ゼロ以外のベクトルと一緒に $v$その繊維で。まず、エルミート計量がに指定されていると仮定します。$\omega$。その後、の繊維$\omega_0$ 定義上、の直交補空間は $v$ ベクトル空間で $F$。これは次元の複雑なベクトル空間です$n-1$、そしてこれらのベクトル空間は明らかに新しいベクトル束の繊維と見なすことができます $\omega_0$ 以上 $E_0$。

質問：私はの総スペースがどのように $\omega_0$が定義されています。しかし、総スペースのトポロジーはどのように定義されていますか？それについての言及はありません。

Answer 1

次のマッピングを検討してください。

$\require{AMScd}$ \ begin {CD} \ pi ^ * E @ >>> E \\ @V \ bar \ pi VV @VV \ pi V \\ E @ >> \ pi> M \ end {CD}

プルバックバンドルを誘発します $\bar \pi : \pi^*E \to E$、それぞれの場所 $v\in E$、 $$\bar\pi^{-1} (v) = \pi^{-1} (\pi(v)).$$ （つまり、ファイバーは単なるファイバーです $F_x$、 どこ $x = \pi(v)$）。 $\pi^*E$プルバックバンドルのトポロジが与えられます。以来$E_0$ のサブセットです $E$、制限はバンドルを与えます

$$\tag{1} \bar\pi \big|_{\bar\pi^{-1}(E_0)} : \pi^*E\big|_{\bar\pi^{-1}( E_0)} \to E_0$$

とバンドル $\omega_0$この本で構成されているのは、（1）のサブバンドルです。Plus isには、（1）で与えられる部分空間トポロジーがあります。